Matematica discreta Esempi

$4 r^{2} + 20 r + 25$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$4 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $r = - \frac{5}{2}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Passaggio 4.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Passaggio 4.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$4 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Passaggio 4.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$4 \frac{25}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Passaggio 4.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Passaggio 4.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 4.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Passaggio 4.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$25 + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Passaggio 4.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{2}$ nel numeratore.

$25 + 20 (\frac{- 5}{2}) + 25$

Passaggio 4.1.7.2

Scomponi $2$ da $20$ .

$25 + 2 (10) \frac{- 5}{2} + 25$

Passaggio 4.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$25 + 2 \cdot 10 \frac{- 5}{2} + 25$

Passaggio 4.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$25 + 10 \cdot - 5 + 25$

Passaggio 4.1.8

Moltiplica $10$ per $- 5$ .

$25 - 50 + 25$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $50$ da $25$ .

$- 25 + 25$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 25$ e $25$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- \frac{5}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $r + \frac{5}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{4 r^{2} + 20 r + 25}{r + \frac{5}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(4)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

	$4$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(- \frac{5}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 10)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(20)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$	$10$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(10)$ per il divisore $(- \frac{5}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 25)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(25)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$	$0$

Passaggio 6.7

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$(4) r + 10$

Passaggio 6.8

Semplifica il polinomio quoziente.

$4 r + 10$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $4 r + 10$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $4 r$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 10)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $10$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 2 (5))$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $2 (2 r) + 2 (5)$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r + 5))$

Passaggio 8

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $4 r^{2}$ come ${(2 r)}^{2}$ .

${(2 r)}^{2} + 20 r + 25 = 0$

Passaggio 8.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

${(2 r)}^{2} + 20 r + 5^{2} = 0$

Passaggio 8.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$20 r = 2 \cdot (2 r) \cdot 5$

Passaggio 8.4

Riscrivi il polinomio.

${(2 r)}^{2} + 2 \cdot (2 r) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Passaggio 8.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 2 r$ e $b = 5$ .

${(2 r + 5)}^{2} = 0$

Passaggio 9

Poni $2 r + 5$ uguale a $0$ .

$2 r + 5 = 0$

Passaggio 10

Risolvi per $r$ .

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Passaggio 10.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 r = - 5$

Passaggio 10.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 r = - 5$ e semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 r = - 5$ .

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Dividi $r$ per $1$ .

$r = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 10.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = - \frac{5}{2}$

Passaggio 11