Matematica discreta Esempi

$| x^{2} - 5 | < 4 x$

Passaggio 1

Scrivi $| x^{2} - 5 | < 4 x$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x^{2} - 5 \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Aggiungi $5$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} \geq 5$

Passaggio 1.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \geq \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.4

Scrivi $| x | \geq \sqrt{5}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 1.2.4.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \geq \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.4.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 1.2.4.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.4.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.2.5

Trova l'intersezione di $x \geq \sqrt{5}$ e $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.6

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq \sqrt{5}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq \sqrt{5}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.6.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \sqrt{5}$ come $- \sqrt{5}$ .

$x \leq - \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.7

Trova l'unione delle soluzioni.

$x \leq - \sqrt{5}$ o $x \geq \sqrt{5}$

Passaggio 1.3

Nella parte in cui $x^{2} - 5$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x^{2} - 5 < 4 x$

Passaggio 1.4

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x^{2} - 5 < 0$

Passaggio 1.5

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Aggiungi $5$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} < 5$

Passaggio 1.5.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{5}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | < \sqrt{5}$

Passaggio 1.5.4

Scrivi $| x | < \sqrt{5}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 1.5.4.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x < \sqrt{5}$

Passaggio 1.5.4.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 1.5.4.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x < \sqrt{5}$

Passaggio 1.5.4.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x < \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x < \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.5.5

Trova l'intersezione di $x < \sqrt{5}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x < \sqrt{5}$

Passaggio 1.5.6

Risolvi $- x < \sqrt{5}$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x < \sqrt{5}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x < \sqrt{5}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Passaggio 1.5.6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Passaggio 1.5.6.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Passaggio 1.5.6.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \sqrt{5}$

Passaggio 1.5.6.1.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \sqrt{5}$ come $- \sqrt{5}$ .

$x > - \sqrt{5}$

Passaggio 1.5.6.2

Trova l'intersezione di $x > - \sqrt{5}$ e $x < 0$ .

$- \sqrt{5} < x < 0$

Passaggio 1.5.7

Trova l'unione delle soluzioni.

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

Passaggio 1.6

Nella parte in cui $x^{2} - 5$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- (x^{2} - 5) < 4 x$

Passaggio 1.7

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - (x^{2} - 5) < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Passaggio 1.8

Semplifica $- (x^{2} - 5) < 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} - - 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Passaggio 1.8.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} + 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Passaggio 2

Risolvi $x^{2} - 5 < 4 x$ dove $x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi $x^{2} - 5 < 4 x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} - 5 - 4 x < 0$

Passaggio 2.1.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - 5 - 4 x = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x^{2} - 5 - 4 x$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 5$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 5, 1$

Passaggio 2.1.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Passaggio 2.1.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.1.5

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2.1.6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.1.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 5, - 1$

Passaggio 2.1.8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 2.1.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 2.1.9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{2} - 5 < 4 (- 4)$

Passaggio 2.1.9.1.3

Il lato sinistro di $11$ non è minore del lato destro di $- 16$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.1.9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.1.9.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{2} - 5 < 4 (0)$

Passaggio 2.1.9.2.3

Il lato sinistro di $- 5$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.1.9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 2.1.9.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

${(8)}^{2} - 5 < 4 (8)$

Passaggio 2.1.9.3.3

Il lato sinistro di $59$ non è minore del lato destro di $32$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.1.9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

Passaggio 2.1.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 < x < 5$

Passaggio 2.2

Trova l'intersezione di $- 1 < x < 5$ e $x \leq - \sqrt{5} o r + x \geq \sqrt{5}$ .

$\sqrt{5} \leq x < 5$

Passaggio 3

Risolvi $- x^{2} + 5 < 4 x$ dove $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi $- x^{2} + 5 < 4 x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} + 5 - 4 x < 0$

Passaggio 3.1.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$- x^{2} + 5 - 4 x = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2} + 5 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta $5$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Passaggio 3.1.3.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Passaggio 3.1.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Passaggio 3.1.3.1.4

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Passaggio 3.1.3.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Passaggio 3.1.3.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Passaggio 3.1.3.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.2.1

Scomponi $x^{2} + 4 x - 5$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 5$ e la cui somma è $4$ .

$- 1, 5$

Passaggio 3.1.3.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Passaggio 3.1.3.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Passaggio 3.1.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.1.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.1.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3.1.6

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.1.6.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 3.1.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 1) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 1, - 5$

Passaggio 3.1.8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 3.1.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 3.1.9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$- {(- 8)}^{2} + 5 < 4 (- 8)$

Passaggio 3.1.9.1.3

Il lato sinistro di $- 59$ è minore del lato destro di $- 32$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.1.9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 3.1.9.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$- {(0)}^{2} + 5 < 4 (0)$

Passaggio 3.1.9.2.3

Il lato sinistro di $5$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 3.1.9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 3.1.9.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$- {(4)}^{2} + 5 < 4 (4)$

Passaggio 3.1.9.3.3

Il lato sinistro di $- 11$ è minore del lato destro di $16$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.1.9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 3.1.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 5$ o $x > 1$

Passaggio 3.2

Trova l'intersezione di $x < - 5 or x > 1$ e $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

$1 < x < \sqrt{5}$

Passaggio 4

Trova l'unione delle soluzioni.

$1 < x < 5$

Passaggio 5

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(1, 5)$

Passaggio 6