Matematica discreta Esempi

$x + \frac{12}{x} < 7$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 2

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $x + \frac{12}{x} < 7$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $x + \frac{12}{x} < 7$ per $x$ .

$x \cdot x + \frac{12}{x} x < 7 x$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + \frac{12}{x} x < 7 x$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + \frac{12}{x} x < 7 x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 12 < 7 x$

Passaggio 3

Risolvi la diseguaglianza.

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Passaggio 3.1

Sottrai $7 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} + 12 - 7 x < 0$

Passaggio 3.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} + 12 - 7 x = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $x^{2} + 12 - 7 x$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 4, - 3$

Passaggio 3.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 4) (x - 3) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 4, 3$

Passaggio 4

Trova il dominio di $x + \frac{12}{x} - 7$ .

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Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{12}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 4.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$(- 2) + \frac{12}{- 2} < 7$

Passaggio 6.1.3

Il lato sinistro di $- 8$ è minore del lato destro di $7$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$(2) + \frac{12}{2} < 7$

Passaggio 6.2.3

Il lato sinistro di $8$ non è minore del lato destro di $7$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.3

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3.5$

Passaggio 6.3.2

Sostituisci $x$ con $3.5$ nella diseguaglianza originale.

$(3.5) + \frac{12}{3.5} < 7$

Passaggio 6.3.3

Il lato sinistro di $6.9\overline{285714}$ è minore del lato destro di $7$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 6.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$(6) + \frac{12}{6} < 7$

Passaggio 6.4.3

Il lato sinistro di $8$ non è minore del lato destro di $7$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Vero

$0 < x < 3$ Falso

$3 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Vero

$0 < x < 3$ Falso

$3 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 0$ o $3 < x < 4$

Passaggio 8

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, 0) \cup (3, 4)$

Passaggio 9