Matematica discreta Esempi

$\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3} > 0$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${(\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 2}$ come ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x + 2)}^{1} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.3

Semplifica.

$(x + 2) {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{x - 3}}^{2}$ come $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 3}$ come ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x + 2) {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$(x + 2) {(x - 3)}^{1} > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.4.5

Semplifica.

$(x + 2) (x - 3) > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.5

Espandi $(x + 2) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 3) + 2 (x - 3) > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3) > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.6.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.6.1.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6 > 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.6.2

Somma $- 3 x$ e $2 x$ .

$x^{2} - x - 6 > 0^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{2} - x - 6 > 0$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 3.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 3, - 2$

Passaggio 4

Trova il dominio di $\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 2}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 2 \geq 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 2$

Passaggio 4.3

Imposta il radicando in $\sqrt{x - 3}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x - 3 \geq 0$

Passaggio 4.4

Aggiungi $3$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq 3$

Passaggio 4.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[3, \infty)$

Passaggio 5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(- 4) + 2} \sqrt{(- 4) - 3} > 0$

Passaggio 6.1.3

Il lato sinistro di $3.74165738$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(0) + 2} \sqrt{(0) - 3} > 0$

Passaggio 6.2.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 6.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(6) + 2} \sqrt{(6) - 3} > 0$

Passaggio 6.3.3

Il lato sinistro di $4.89897948$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 2$ o $x > 3$

Passaggio 8

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

Passaggio 9