Matematica discreta Esempi

$\sqrt{2 x} - 5 = \sqrt{3 x - 8}$

Passaggio 1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{2 x} = \sqrt{3 x - 8} + 5$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 x}}^{2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x}$ come ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 x)}^{1} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$2 x = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$ come $(\sqrt{3 x - 8} + 5) (\sqrt{3 x - 8} + 5)$ .

$2 x = (\sqrt{3 x - 8} + 5) (\sqrt{3 x - 8} + 5)$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(\sqrt{3 x - 8} + 5) (\sqrt{3 x - 8} + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x = \sqrt{3 x - 8} (\sqrt{3 x - 8} + 5) + 5 (\sqrt{3 x - 8} + 5)$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x = \sqrt{3 x - 8} \sqrt{3 x - 8} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 (\sqrt{3 x - 8} + 5)$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x = \sqrt{3 x - 8} \sqrt{3 x - 8} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Moltiplica $\sqrt{3 x - 8} \sqrt{3 x - 8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{3 x - 8}$ alla potenza di $1$ .

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{1} \sqrt{3 x - 8} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{3 x - 8}$ alla potenza di $1$ .

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{1} {\sqrt{3 x - 8}}^{1} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.1.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{1 + 1} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.1.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{2} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{3 x - 8}}^{2}$ come $3 x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x - 8}$ come ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x = {({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.1.3.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x = {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.1.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 x = {(3 x - 8)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.1.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 x = {(3 x - 8)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.1.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x = {(3 x - 8)}^{1} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.1.3.1.2.5

Semplifica.

$2 x = 3 x - 8 + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Sposta $5$ alla sinistra di $\sqrt{3 x - 8}$ .

$2 x = 3 x - 8 + 5 \cdot \sqrt{3 x - 8} + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.1.3.1.4

Moltiplica $5$ per $5$ .

$2 x = 3 x - 8 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \sqrt{3 x - 8} + 25$

Passaggio 3.3.1.3.2

Somma $- 8$ e $25$ .

$2 x = 3 x + 17 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \sqrt{3 x - 8}$

Passaggio 3.3.1.3.3

Somma $5 \sqrt{3 x - 8}$ e $5 \sqrt{3 x - 8}$ .

$2 x = 3 x + 17 + 10 \sqrt{3 x - 8}$

Passaggio 4

Risolvi per $10 \sqrt{3 x - 8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $3 x + 17 + 10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x$ .

$3 x + 17 + 10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $10 \sqrt{3 x - 8}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$17 + 10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x - 3 x$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $17$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x - 3 x - 17$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $3 x$ da $2 x$ .

$10 \sqrt{3 x - 8} = - x - 17$

Passaggio 5

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(10 \sqrt{3 x - 8})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Passaggio 6

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x - 8}$ come ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(10 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ${(10 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $10 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$10^{2} {({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$100 {({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 17)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$100 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 17)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$100 {(3 x - 8)}^{1} = {(- x - 17)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Semplifica.

$100 (3 x - 8) = {(- x - 17)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$100 (3 x) + 100 \cdot - 8 = {(- x - 17)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.6.1

Moltiplica $3$ per $100$ .

$300 x + 100 \cdot - 8 = {(- x - 17)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6.2

Moltiplica $100$ per $- 8$ .

$300 x - 800 = {(- x - 17)}^{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica ${(- x - 17)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Riscrivi ${(- x - 17)}^{2}$ come $(- x - 17) (- x - 17)$ .

$300 x - 800 = (- x - 17) (- x - 17)$

Passaggio 6.3.1.2

Espandi $(- x - 17) (- x - 17)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$300 x - 800 = - x (- x - 17) - 17 (- x - 17)$

Passaggio 6.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$300 x - 800 = - x (- x) - x \cdot - 17 - 17 (- x - 17)$

Passaggio 6.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$300 x - 800 = - x (- x) - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$300 x - 800 = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Passaggio 6.3.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$300 x - 800 = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Passaggio 6.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$300 x - 800 = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Passaggio 6.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$300 x - 800 = 1 x^{2} - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Passaggio 6.3.1.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$300 x - 800 = x^{2} - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Passaggio 6.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 17$ per $- 1$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 17 x - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Passaggio 6.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 17$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 17 x + 17 x - 17 \cdot - 17$

Passaggio 6.3.1.3.1.7

Moltiplica $- 17$ per $- 17$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 17 x + 17 x + 289$

Passaggio 6.3.1.3.2

Somma $17 x$ e $17 x$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 34 x + 289$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{2} + 34 x + 289 = 300 x - 800$

Passaggio 7.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $300 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 34 x + 289 - 300 x = - 800$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $300 x$ da $34 x$ .

$x^{2} - 266 x + 289 = - 800$

Passaggio 7.3

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Somma $800$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 266 x + 289 + 800 = 0$

Passaggio 7.3.2

Somma $289$ e $800$ .

$x^{2} - 266 x + 1089 = 0$

Passaggio 7.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 266$ e $c = 1089$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{266 \pm \sqrt{{(- 266)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1089)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1.1

Eleva $- 266$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{70756 - 4 \cdot 1 \cdot 1089}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1089$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{70756 - 4 \cdot 1089}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1089$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{70756 - 4356}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.1.3

Sottrai $4356$ da $70756$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{66400}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.1.4

Riscrivi $66400$ come $20^{2} \cdot 166$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1.4.1

Scomponi $400$ da $66400$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{400 (166)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.1.4.2

Riscrivi $400$ come $20^{2}$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 166}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{266 \pm 20 \sqrt{166}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{266 \pm 20 \sqrt{166}}{2}$

Passaggio 7.6.3

Semplifica $\frac{266 \pm 20 \sqrt{166}}{2}$ .

$x = 133 \pm 10 \sqrt{166}$

Passaggio 7.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 133 + 10 \sqrt{166}, 133 - 10 \sqrt{166}$

Passaggio 8

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{2 x} - 5 = \sqrt{3 x - 8}$ vera.

$Nessuna soluzione$