Matematica discreta Esempi

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Passaggio 1

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1

$\frac{2}{3}$ e $\log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Riscrivi $\frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ come $\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Passaggio 2.1.1.2

Semplifica $\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ spostando $\frac{2}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (27^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Passaggio 2.1.1.3

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} ({(3^{3})}^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Passaggio 2.1.1.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Passaggio 2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Passaggio 2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{2}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Passaggio 2.1.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Passaggio 2.1.1.7

Semplifica $2 \log_{b} (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (2^{2}) - \log_{b} (3)$

Passaggio 2.1.1.8

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (4) - \log_{b} (3)$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9 \cdot 4) - \log_{b} (3)$

Passaggio 2.1.3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{9 \cdot 4}{3})$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $3$ da $9 \cdot 4$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3})$

Passaggio 2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.1.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 (1)})$

Passaggio 2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 \cdot 1})$

Passaggio 2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 \cdot 4}{1})$

Passaggio 2.1.4.2.4

Dividi $3 \cdot 4$ per $1$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3 \cdot 4)$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (12)$

Passaggio 3

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x = 12$