Matematica discreta Esempi

$\log_{2} (3 x + 1) - \log_{2} (x + 2) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x})$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) - \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x}) = - 2$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{3 x + 1}{x + 2}}{\frac{9 x - 4}{x}}) = - 2$

Passaggio 5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x}{9 x - 4}) = - 2$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{3 x + 1}{x + 2}$ per $\frac{x}{9 x - 4}$ .

$\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

Passaggio 7

Riordina i fattori in $\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)})$ .

$\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

Passaggio 8

Riscrivi $\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{- 2} = \frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}$

Passaggio 9

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$x (3 x + 1) = 2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$

Passaggio 10

Semplifica $2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{2^{2}} ((x + 2) (9 x - 4))$

Passaggio 10.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} ((x + 2) (9 x - 4))$

Passaggio 10.3

Espandi $(x + 2) (9 x - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x - 4) + 2 (9 x - 4))$

Passaggio 10.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x - 4))$

Passaggio 10.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Passaggio 10.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x \cdot x + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Passaggio 10.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Passaggio 10.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Passaggio 10.4.1.3

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 \cdot x + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Passaggio 10.4.1.4

Moltiplica $9$ per $2$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x + 2 \cdot - 4)$

Passaggio 10.4.1.5

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x - 8)$

Passaggio 10.4.2

Somma $- 4 x$ e $18 x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + 14 x - 8)$

Passaggio 10.5

Applica la proprietà distributiva.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2}) + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Passaggio 10.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Moltiplica $\frac{1}{4} (9 x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1.1

$9$ e $\frac{1}{4}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Passaggio 10.6.1.2

$\frac{9}{4}$ e $x^{2}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Passaggio 10.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Passaggio 10.6.2.2

Scomponi $2$ da $14 x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Passaggio 10.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Passaggio 10.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (7 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Passaggio 10.6.3

$7$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Passaggio 10.6.4

$\frac{7}{2}$ e $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Passaggio 10.6.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.5.1

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 2))$

Passaggio 10.6.5.2

Elimina il fattore comune.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

Passaggio 10.6.5.3

Riscrivi l'espressione.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} - 2$

Passaggio 11

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 11.1

Sottrai $\frac{9 x^{2}}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} = \frac{7 x}{2} - 2$

Passaggio 11.2

Sottrai $\frac{7 x}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Passaggio 11.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (3 x) + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x \cdot x + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 x \cdot x + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Passaggio 11.3.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.4.1

Sposta $x$ .

$3 (x \cdot x) + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Passaggio 11.3.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x^{2} + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Passaggio 11.4

Per scrivere $3 x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x + 3 x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Passaggio 11.5

$3 x^{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Passaggio 11.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Passaggio 11.7

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 11.7.1

Scrivi $x$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{x}{1} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Passaggio 11.7.2

Moltiplica $\frac{x}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Passaggio 11.7.3

Moltiplica $\frac{x}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Passaggio 11.7.4

Moltiplica $\frac{7 x}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - (\frac{7 x}{2} \cdot \frac{2}{2}) = - 2$

Passaggio 11.7.5

Moltiplica $\frac{7 x}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{2 \cdot 2} = - 2$

Passaggio 11.7.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Passaggio 11.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x \cdot 4 + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Passaggio 11.9

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.9.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{4 \cdot x + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Passaggio 11.9.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Passaggio 11.9.3

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 14 x}{4} = - 2$

Passaggio 11.10

Sottrai $14 x$ da $4 x$ .

$\frac{12 x^{2} - 9 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

Passaggio 11.11

Sottrai $9 x^{2}$ da $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

Passaggio 11.12

Scomponi $x$ da $3 x^{2} - 10 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.12.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) - 10 x}{4} = - 2$

Passaggio 11.12.2

Scomponi $x$ da $- 10 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 10}{4} = - 2$

Passaggio 11.12.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot - 10$ .

$\frac{x (3 x - 10)}{4} = - 2$

Passaggio 12

Moltiplica ogni lato per $4$ .

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 13.1.1

Semplifica $\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4$ .

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Passaggio 13.1.1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

Passaggio 13.1.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x (3 x - 10) = - 2 \cdot 4$

Passaggio 13.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (3 x) + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

Passaggio 13.1.1.1.3

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x \cdot x + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

Passaggio 13.1.1.1.3.2

Sposta $- 10$ alla sinistra di $x$ .

$3 x \cdot x - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

Passaggio 13.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.2.1

Sposta $x$ .

$3 (x \cdot x) - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

Passaggio 13.1.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x^{2} - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

$3 x^{2} - 10 x = - 2 \cdot 4$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$3 x^{2} - 10 x = - 8$

Passaggio 14

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Passaggio 14.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ e la cui somma è $b = - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Scomponi $- 10$ da $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Passaggio 14.2.1.2

Riscrivi $- 10$ come $- 4$ più $- 6$ .

$3 x^{2} + (- 4 - 6) x + 8 = 0$

Passaggio 14.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 4 x - 6 x + 8 = 0$

Passaggio 14.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 4 x) - 6 x + 8 = 0$

Passaggio 14.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 4) - 2 (3 x - 4) = 0$

Passaggio 14.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x - 2) = 0$

Passaggio 14.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 14.4

Imposta $3 x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Imposta $3 x - 4$ uguale a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Passaggio 14.4.2

Risolvi $3 x - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 4$

Passaggio 14.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 14.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 14.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Passaggio 14.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 14.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 14.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 4) (x - 2) = 0$ vera.

$x = \frac{4}{3}, 2$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{4}{3}, 2$

Forma decimale:

$x = 1.\overline{3}, 2$

Forma numero misto:

$x = 1 \frac{1}{3}, 2$