Matematica discreta Esempi

$\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + 20 x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Passaggio 1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 25 = 75$ e la cui somma è $b = 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $20$ da $20 x$ .

$\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + 20 (x) + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $20$ come $5$ più $15$ .

$\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + (5 + 15) x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + 5 x + 15 x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Passaggio 1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{x^{2} + 25}{(3 x^{2} + 5 x) + 15 x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Passaggio 1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x^{2} + 25}{x (3 x + 5) + 5 (3 x + 5)} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Passaggio 1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 5$ .

$\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(3 x + 5) (x + 5), x + 5, 3 x + 5$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $3 x + 5$ è $3 x + 5$ stesso.

$(3 x + 5) = 3 x + 5$

$(3 x + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x + 5$ è $x + 5$ stesso.

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $3 x + 5$ è $3 x + 5$ stesso.

$(3 x + 5) = 3 x + 5$

$(3 x + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $3 x + 5, x + 5, x + 5, 3 x + 5$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(3 x + 5) (x + 5)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(3 x + 5) (x + 5)$ ciascun termine in $\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$ per $(3 x + 5) (x + 5)$ .

$\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} ((3 x + 5) (x + 5)) + \frac{5}{x + 5} ((3 x + 5) (x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $(3 x + 5) (x + 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} ((3 x + 5) (x + 5)) + \frac{5}{x + 5} ((3 x + 5) (x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 25 + \frac{5}{x + 5} ((3 x + 5) (x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Scomponi $x + 5$ da $(3 x + 5) (x + 5)$ .

$x^{2} + 25 + \frac{5}{x + 5} ((x + 5) (3 x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 25 + \frac{5}{x + 5} ((x + 5) (3 x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 25 + 5 (3 x + 5) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 25 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5 = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$x^{2} + 25 + 15 x + 5 \cdot 5 = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $5$ per $5$ .

$x^{2} + 25 + 15 x + 25 = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Passaggio 3.2.2

Somma $25$ e $25$ .

$x^{2} + 15 x + 50 = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $3 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{3 x + 5}$ nel numeratore.

$x^{2} + 15 x + 50 = \frac{- 5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 15 x + 50 = \frac{- 5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 15 x + 50 = - 5 (x + 5)$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 15 x + 50 = - 5 x - 5 \cdot 5$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$x^{2} + 15 x + 50 = - 5 x - 25$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Somma $5 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 15 x + 50 + 5 x = - 25$

Passaggio 4.1.2

Somma $15 x$ e $5 x$ .

$x^{2} + 20 x + 50 = - 25$

Passaggio 4.2

Somma $25$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 20 x + 50 + 25 = 0$

Passaggio 4.3

Somma $50$ e $25$ .

$x^{2} + 20 x + 75 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi $x^{2} + 20 x + 75$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $75$ e la cui somma è $20$ .

$5, 15$

Passaggio 4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 5) (x + 15) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 15 = 0$

Passaggio 4.6

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 4.7

Imposta $x + 15$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Imposta $x + 15$ uguale a $0$ .

$x + 15 = 0$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 15$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 5) (x + 15) = 0$ vera.

$x = - 5, - 15$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + 20 x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$ vera.

$x = - 15$