Matematica discreta Esempi

$\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x} = 81^{x^{2} - 2}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo dell'equazione assegnata.

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Passaggio 2

Riscrivi $\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x})$ come $\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x})$ .

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (\frac{1}{27^{2 x}})$ come $\ln (1) - \ln (27^{2 x})$ .

$\ln (1) - \ln (27^{2 x}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Passaggio 4

Espandi $\ln (27^{2 x})$ spostando $2 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Passaggio 5

Espandi $\ln (3^{- 2 x})$ spostando $- 2 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Passaggio 6

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$0 - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Passaggio 7

Sottrai $2 x \ln (27)$ da $0$ .

$- (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Passaggio 8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Passaggio 9

Rimuovi le parentesi.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Passaggio 10

Espandi $\ln (81^{x^{2} - 2})$ spostando $x^{2} - 2$ fuori dal logaritmo.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = (x^{2} - 2) \ln (81)$

Passaggio 11

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica $- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (27)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$x (- \ln (27^{2})) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Passaggio 11.2.1.1.2

Eleva $27$ alla potenza di $2$ .

$x (- \ln (729)) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Passaggio 11.2.1.1.3

Semplifica $- 2 \ln (3)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (3^{2})) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Passaggio 11.2.1.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (9)) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Passaggio 11.2.1.2

Riordina i fattori in $x (- \ln (729)) + x (- \ln (9))$ .

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Passaggio 11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Semplifica $- 2 \ln (81)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (81^{2})$

Passaggio 11.3.1.2

Eleva $81$ alla potenza di $2$ .

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (6561)$

Passaggio 11.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- x \ln (729) - x \ln (9) - x^{2} \ln (81) + \ln (6561) = 0$

Passaggio 11.5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 11.6

Sostituisci i valori $a = - \ln (81)$ , $b = - \ln (729) - \ln (9)$ e $c = \ln (6561)$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- (- \ln (729) - \ln (9)) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- \ln (81) \cdot \ln (6561))}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.2

Moltiplica $- - \ln (729)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = \frac{1 \ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.2.2

Moltiplica $\ln (729)$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.3

Moltiplica $- - \ln (9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + 1 \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.3.2

Moltiplica $\ln (9)$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.4

Riscrivi ${(- \ln (729) - \ln (9))}^{2}$ come $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.5

Espandi $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729) - \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.2

Moltiplica $\ln (729)$ per $\ln (729)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1.6.1.2.1

Sposta $\ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (\ln (729) \ln (729))) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.2.2

Moltiplica $\ln (729)$ per $\ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.4

Moltiplica $\ln^{2} (729)$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 1 \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.7

Moltiplica $\ln (729)$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + 1 \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.10

Moltiplica $\ln (9)$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.11

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.12

Moltiplica $\ln (9)$ per $\ln (9)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1.6.1.12.1

Sposta $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 (\ln (9) \ln (9))) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.12.2

Moltiplica $\ln (9)$ per $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + 1 \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.1.14

Moltiplica $\ln^{2} (9)$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.2

Somma $\ln (729) \ln (9)$ e $\ln (9) \ln (729)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1.6.2.1

Riordina $\ln (729)$ e $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.6.2.2

Somma $\ln (9) \ln (729)$ e $\ln (9) \ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.1.7

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Passaggio 11.7.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{- 2 \ln (81)}$

Passaggio 11.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

Passaggio 11.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) + \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}, - \frac{\ln (729) + \ln (9) - \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

Forma decimale:

$x = - 2.73205080 \dots, 0.73205080 \dots$