Matematica discreta Esempi

$\frac{1}{4} \cdot {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Passaggio 1

Semplifica $\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + \frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Passaggio 1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Passaggio 1.3

$\frac{1}{4}$ e ${| x^{3} + 1 |}^{2}$ .

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} = | x^{3} + 1 | - 1$

Passaggio 2

Sottrai $| x^{3} + 1 |$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$

Passaggio 3

Moltiplica per $4$ ciascun termine in $\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ per $4$ .

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 1 \cdot 4$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 4$

Passaggio 4

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 4 = 0$

Passaggio 5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 2^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 | x^{3} + 1 | = 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2$

Passaggio 5.3

Riscrivi il polinomio.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Passaggio 5.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = | x^{3} + 1 |$ e $b = 2$ .

${(| x^{3} + 1 | - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6

Poni $| x^{3} + 1 | - 2$ uguale a $0$ .

$| x^{3} + 1 | - 2 = 0$

Passaggio 7

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$| x^{3} + 1 | = 2$

Passaggio 8

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x^{3} + 1 = \pm 2$

Passaggio 9

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 9.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x^{3} + 1 = 2$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = 2 - 1$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$x^{3} = 1$

Passaggio 9.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 1 = 0$

Passaggio 9.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Passaggio 9.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 9.4.3

Semplifica.

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Passaggio 9.4.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 9.4.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Passaggio 9.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 9.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 9.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 9.7

Imposta $x^{2} + x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.7.1

Imposta $x^{2} + x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 9.7.2

Risolvi $x^{2} + x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 9.7.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 9.7.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.7.2.3

Semplifica.

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Passaggio 9.7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.7.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Passaggio 9.7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.7.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.7.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.7.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.7.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.7.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9.7.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9.9

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x^{3} + 1 = - 2$

Passaggio 9.10

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.10.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = - 2 - 1$

Passaggio 9.10.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$x^{3} = - 3$

Passaggio 9.11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- 3}$

Passaggio 9.12

Semplifica $\sqrt[3]{- 3}$ .

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Passaggio 9.12.1

Riscrivi $- 3$ come ${(- 1)}^{3} \cdot 3$ .

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Passaggio 9.12.1.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (3)}$

Passaggio 9.12.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 3}$

Passaggio 9.12.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = - 1 \sqrt[3]{3}$

Passaggio 9.12.3

Riscrivi $- 1 \sqrt[3]{3}$ come $- \sqrt[3]{3}$ .

$x = - \sqrt[3]{3}$

Passaggio 9.13

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \sqrt[3]{3}$

Passaggio 10