Matematica discreta Esempi

$\frac{4}{x^{2} - 1} + 1 = \frac{2 x}{x - 1}$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{4}{x^{2} - 1} = \frac{2 x}{x - 1} - 1$

Passaggio 2

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 1^{2}} = \frac{2 x}{x - 1} - 1$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{2 x}{x - 1} - 1$

Passaggio 3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(x + 1) (x - 1), x - 1, 1$

Passaggio 3.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 3.5

Il fattore di $x + 1$ è $x + 1$ stesso.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.6

Il fattore di $x - 1$ è $x - 1$ stesso.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.7

Il minimo comune multiplo di $x + 1, x - 1, x - 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 1) (x - 1)$

Passaggio 4

Moltiplica per $(x + 1) (x - 1)$ ciascun termine in $\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{2 x}{x - 1} - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{2 x}{x - 1} - 1$ per $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{2 x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $(x + 1) (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{2 x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 = \frac{2 x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Scomponi $x - 1$ da $(x + 1) (x - 1)$ .

$4 = \frac{2 x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 = \frac{2 x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 = 2 x (x + 1) - ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$4 = 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.3.1.5

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Passaggio 4.3.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Passaggio 4.3.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.3.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.3.1.6.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.3.1.6.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.3.1.6.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.3.1.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - x + x - 1)$

Passaggio 4.3.1.6.2

Somma $- x$ e $x$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} + 0 - 1)$

Passaggio 4.3.1.6.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 1)$

Passaggio 4.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$4 = 2 x^{2} + 2 x - x^{2} - - 1$

Passaggio 4.3.1.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 1$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$4 = x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 2 x + 1 = 4$ .

$x^{2} + 2 x + 1 = 4$

Passaggio 5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 2 x + 1 - 4 = 0$

Passaggio 5.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Passaggio 5.4

Scomponi $x^{2} + 2 x - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $2$ .

$- 1, 3$

Passaggio 5.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Passaggio 5.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.7

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.7.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 5.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 1, - 3$

Passaggio 6

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{4}{x^{2} - 1} + 1 = \frac{2 x}{x - 1}$ vera.

$x = - 3$