Matematica discreta Esempi

$x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20 = 0$

Passaggio 1

Scomponi $x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Passaggio 1.3

Sostituisci $5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $5$ nel polinomio.

$5^{3} - 7 \cdot 5^{2} + 6 \cdot 5 + 20$

Passaggio 1.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$125 - 7 \cdot 5^{2} + 6 \cdot 5 + 20$

Passaggio 1.3.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$125 - 7 \cdot 25 + 6 \cdot 5 + 20$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 7$ per $25$ .

$125 - 175 + 6 \cdot 5 + 20$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $175$ da $125$ .

$- 50 + 6 \cdot 5 + 20$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $6$ per $5$ .

$- 50 + 30 + 20$

Passaggio 1.3.7

Somma $- 50$ e $30$ .

$- 20 + 20$

Passaggio 1.3.8

Somma $- 20$ e $20$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20}{x - 5}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20$ per $x - 5$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$20$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + 10 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$
							-	$4 x$	+	$20$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x + 20$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$
							+	$4 x$	-	$20$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$
							+	$4 x$	-	$20$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x - 4$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20$ come insieme di fattori.

$(x - 5) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 4

Imposta $x^{2} - 2 x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x^{2} - 2 x - 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Passaggio 4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Somma $4$ e $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 4.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ vera.

$x = 5, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 5, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Forma decimale:

$x = 5, 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$