Matematica discreta Esempi

$14 x^{4} - 5 x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$14 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 14 \cdot - 1 = - 14$ e la cui somma è $b = - 5$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 u$ .

$14 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $- 5$ come $2$ più $- 7$ .

$14 u^{2} + (2 - 7) u - 1 = 0$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$14 u^{2} + 2 u - 7 u - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(14 u^{2} + 2 u) - 7 u - 1 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 u (7 u + 1) - (7 u + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $7 u + 1$ .

$(7 u + 1) (2 u - 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$7 u + 1 = 0$

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta $7 u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $7 u + 1$ uguale a $0$ .

$7 u + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $7 u + 1 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$7 u = - 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 u = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 u = - 1$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{- 1}{7}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 u}{7} = \frac{- 1}{7}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 1}{7}$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{1}{7}$

Passaggio 5

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(7 u + 1) (2 u - 1) = 0$ vera.

$u = - \frac{1}{7}, \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = - \frac{1}{7}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{7}$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{7}}$

Passaggio 9.2

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{7}}$ .

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Passaggio 9.2.1

Riscrivi $- \frac{1}{7}$ come $i^{2} \frac{1^{2}}{7}$ .

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Passaggio 9.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{7}}$

Passaggio 9.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{7}}$

Passaggio 9.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{7}}$

Passaggio 9.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{7}}$

Passaggio 9.2.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{7}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 9.2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{7}}$

Passaggio 9.2.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Passaggio 9.2.7

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.2.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Passaggio 9.2.7.2

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Passaggio 9.2.7.3

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Passaggio 9.2.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.2.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Passaggio 9.2.7.6

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

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Passaggio 9.2.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.2.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.2.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.2.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.2.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Passaggio 9.2.7.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7}$

Passaggio 9.2.8

$i$ e $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Passaggio 9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 9.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Passaggio 9.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Passaggio 9.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Passaggio 10

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 11.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 11.3.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.3.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.3.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 11.3.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 11.3.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 11.3.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 11.3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 11.3.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 11.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.3.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 11.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.3.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.3.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 11.3.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 12

La soluzione di $14 x^{4} - 5 x^{2} - 1 = 0$ è $x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$