Matematica discreta Esempi

$25 x^{- 4} - 104 x^{- 2} + 16 = 0$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 \frac{1}{x^{4}} - 104 x^{- 2} + 16 = 0$

Passaggio 1.2

$25$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{25}{x^{4}} - 104 x^{- 2} + 16 = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{25}{x^{4}} - 104 \frac{1}{x^{2}} + 16 = 0$

Passaggio 1.4

$- 104$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{25}{x^{4}} + \frac{- 104}{x^{2}} + 16 = 0$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{25}{x^{4}} - \frac{104}{x^{2}} + 16 = 0$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{4}, x^{2}, 1, 1$

Passaggio 2.2

Since $x^{4}, x^{2}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{4}, x^{2}$ .

Passaggio 2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.6

I fattori di $x^{4}$ sono $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $4$ volte.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ si verifica $4$ volte.

Passaggio 2.7

I fattori di $x^{2}$ sono $x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{4}, x^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Passaggio 2.9

Semplifica $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Passaggio 2.9.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Passaggio 2.9.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Passaggio 2.9.3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Passaggio 2.9.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3 + 1}$

Passaggio 2.9.3.2

Somma $3$ e $1$ .

$x^{4}$

Passaggio 3

Moltiplica per $x^{4}$ ciascun termine in $\frac{25}{x^{4}} - \frac{104}{x^{2}} + 16 = 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{25}{x^{4}} - \frac{104}{x^{2}} + 16 = 0$ per $x^{4}$ .

$\frac{25}{x^{4}} x^{4} - \frac{104}{x^{2}} x^{4} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{25}{x^{4}} x^{4} - \frac{104}{x^{2}} x^{4} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$25 - \frac{104}{x^{2}} x^{4} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{104}{x^{2}}$ nel numeratore.

$25 + \frac{- 104}{x^{2}} x^{4} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$25 + \frac{- 104}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$25 + \frac{- 104}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$25 - 104 x^{2} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{4}$ .

$25 - 104 x^{2} + 16 x^{4} = 0$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$16 u^{2} - 104 u + 25 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 4.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 16 \cdot 25 = 400$ e la cui somma è $b = - 104$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Scomponi $- 104$ da $- 104 u$ .

$16 u^{2} - 104 u + 25 = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi $- 104$ come $- 4$ più $- 100$ .

$16 u^{2} + (- 4 - 100) u + 25 = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 u^{2} - 4 u - 100 u + 25 = 0$

Passaggio 4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(16 u^{2} - 4 u) - 100 u + 25 = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$4 u (4 u - 1) - 25 (4 u - 1) = 0$

Passaggio 4.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (4 u - 25) = 0$

Passaggio 4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$4 u - 25 = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $4 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 4.4.1

Imposta $4 u - 1$ uguale a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Passaggio 4.4.2

Risolvi $4 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 u = 1$

Passaggio 4.4.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = 1$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.4.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.5

Imposta $4 u - 25$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta $4 u - 25$ uguale a $0$ .

$4 u - 25 = 0$

Passaggio 4.5.2

Risolvi $4 u - 25 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Somma $25$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 u = 25$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = 25$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = 25$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{25}{4}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 u}{4} = \frac{25}{4}$

Passaggio 4.5.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{25}{4}$

Passaggio 4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 u - 1) (4 u - 25) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{4}, \frac{25}{4}$

Passaggio 4.7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{25}{4}$

Passaggio 4.8

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.9

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 4.9.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 4.9.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 4.9.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 4.9.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 4.9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.9.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.9.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.10

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{25}{4}$

Passaggio 4.11

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Passaggio 4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Passaggio 4.11.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.3.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{25}{4}}$ come $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 4.11.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.3.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 4.11.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Passaggio 4.11.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.3.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 4.11.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Passaggio 4.11.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 4.11.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 4.11.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Passaggio 4.12

La soluzione di $16 x^{4} - 104 x^{2} + 25 = 0$ è $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Forma decimale:

$x = 0.5, - 0.5, 2.5, - 2.5$

Forma numero misto:

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 \frac{1}{2}, - 2 \frac{1}{2}$