Matematica discreta Esempi

$2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1)$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica $2 \log_{4} (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{4} (x^{2}) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2}}{x - 1}) = 1$

Passaggio 3

Riscrivi $\log_{4} (\frac{x^{2}}{x - 1}) = 1$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Passaggio 4

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$x^{2} = 4 (x - 1)$

Passaggio 5

Semplifica $4 (x - 1)$ .

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = 4 x + 4 \cdot - 1$

Passaggio 5.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$x^{2} = 4 x - 4$

Passaggio 6

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 4 x = - 4$

Passaggio 7

Scomponi $x$ da $x^{2} - 4 x$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = - 4$

Passaggio 7.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = - 4$

Passaggio 7.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = - 4$

Passaggio 8

Semplifica $x (x - 4)$ .

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = - 4$

Passaggio 8.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 = - 4$

Passaggio 8.2.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 4 x = - 4$

Passaggio 9

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Passaggio 10

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 10.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Passaggio 10.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 10.3

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Passaggio 10.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 11

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 12

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$