Matematica discreta Esempi

2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi

e^{2 x}

$e^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Passaggio 2

Sostituisci

e^{x}

$e^{x}$ per

u

$u$ .

2 u^{2} - 5 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Passaggio 3

Risolvi per

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori

a = 2

$a = 2$ ,

b = - 5

$b = - 5$ e

c = 4

$c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per

u

$u$ .

\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Eleva

- 5

$- 5$ alla potenza di

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica

- 4 \cdot 2 \cdot 4

$- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica

- 8

$- 8$ per

4

$4$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.3

Sottrai

32

$32$ da

25

$25$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi

- 7

$- 7$ come

- 1 (7)

$- 1 (7)$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.5

Riscrivi

\sqrt{- 1 (7)}

$\sqrt{- 1 (7)}$ come

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.6

Riscrivi

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ come

i

$i$ .

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 3.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 4

Sostituisci

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ per

u

$u$ in

u = e^{x}

$u = e^{x}$ .

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Passaggio 5

Risolvi

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come

e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 5.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 5.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Espandi

ln (e^{x})

$\ln (e^{x})$ spostando

x

$x$ fuori dal logaritmo.

x ln (e) = ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 5.3.2

Il logaritmo naturale di

e

$e$ è

1

$1$ .

x \cdot 1 = ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica

x

$x$ per

1

$1$ .

x = ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

x = ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 5.4

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi

$\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ come

$\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Passaggio 5.4.2

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{7}$ come

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi

$\ln (4)$ come

$\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Passaggio 5.4.4

Espandi

$\ln (2^{2})$ spostando

$2$ fuori dal logaritmo.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Passaggio 5.4.5

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Semplifica

$- 2 \ln (2)$ spostando

$2$ all'interno del logaritmo.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Passaggio 5.5.1.2

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Passaggio 5.5.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Passaggio 6

Sostituisci

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ per

$u$ in

$u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Passaggio 7

Risolvi

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 7.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Espandi

$\ln (e^{x})$ spostando

$x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 7.3.2

Il logaritmo naturale di

$e$ è

$1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica

$x$ per

$1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Passaggio 7.4

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Riscrivi

$\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ come

$\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Passaggio 7.4.2

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{7}$ come

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Passaggio 7.4.3

Riscrivi

$\ln (4)$ come

$\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Passaggio 7.4.4

Espandi

$\ln (2^{2})$ spostando

$2$ fuori dal logaritmo.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Passaggio 7.4.5

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Semplifica

$- 2 \ln (2)$ spostando

$2$ all'interno del logaritmo.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Passaggio 7.5.1.2

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Passaggio 7.5.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Passaggio 8

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$