Matematica discreta Esempi

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 (2)} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.1.3.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{12}$

Passaggio 2.2.2

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{12}$

Passaggio 2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} - \frac{1}{12}$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{6}{12} - \frac{1}{12}$

Passaggio 2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 - 1}{12}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $1$ da $6$ .

$\frac{5}{12}$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{5}{12}} [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 (\frac{12}{5}) [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{12}{5}$ per $1$ .

$\frac{12}{5} [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 7

Moltiplica $\frac{12}{5}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 (3)}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.1.2

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 3}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.1.3

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 3 & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.2

$\frac{3}{5}$ e $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 3}{5} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.4.2

Scomponi $4$ da $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{4 (3)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.4.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{4 \cdot 3}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.4.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{3}{5} \cdot - 1 \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.5

$\frac{3}{5}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{3 \cdot - 1}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{- 3}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{12}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.8.2

Scomponi $3$ da $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (4)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.8.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot 4}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.8.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \cdot - 1 & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.9

$\frac{4}{5}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{4 \cdot - 1}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.10

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 4}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.12

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.12.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{3 (4)}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.12.2

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{3 \cdot 4}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.12.3

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 8.13

$\frac{4}{5}$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{4 \cdot 2}{5} \end{array}]$

Passaggio 8.14

Moltiplica $4$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{8}{5} \end{array}]$