Matematica discreta Esempi

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 1

Scrivi $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ come un'equazione.

$y = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 2

Scambia le variabili.

$x = (9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$

Step 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'equazione come $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$ .

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Risolvi per $\sqrt{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Espandi $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y} + 3) - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Applica la proprietà distributiva.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Applica la proprietà distributiva.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 \cdot 7 \sqrt{y} \sqrt{y} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Moltiplica $\sqrt{y}$ per $\sqrt{y}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 (\sqrt{y} \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Moltiplica $\sqrt{y}$ per $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Moltiplica $9$ per $7$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Moltiplica $3$ per $9$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Moltiplica $7$ per $- 5$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 5 \cdot 3 = x$

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 15 = x$

Sottrai $35 \sqrt{y}$ da $27 \sqrt{y}$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 = x$

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 - x = 0$

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sostituisci i valori $a = 63$ , $b = - 8$ e $c = - 15 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $\sqrt{y}$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (63 \cdot (- 15 - x))}}{2 \cdot 63}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Moltiplica $- 4$ per $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Moltiplica $- 252$ per $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Moltiplica $- 1$ per $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Somma $64$ e $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Scomponi $4$ da $3844 + 252 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Scomponi $4$ da $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Scomponi $4$ da $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Riscrivi $4 (961 + 63 x)$ come $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Riscrivi $961$ come $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Estrai i termini dal radicale.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Eleva $31$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Moltiplica $2$ per $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Moltiplica $- 4$ per $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Moltiplica $- 252$ per $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Moltiplica $- 1$ per $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Somma $64$ e $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Scomponi $4$ da $3844 + 252 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Scomponi $4$ da $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Scomponi $4$ da $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Riscrivi $4 (961 + 63 x)$ come $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Riscrivi $961$ come $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Estrai i termini dal radicale.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Eleva $31$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Moltiplica $2$ per $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Moltiplica $- 4$ per $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Moltiplica $- 252$ per $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Moltiplica $- 1$ per $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Somma $64$ e $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Scomponi $4$ da $3844 + 252 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Scomponi $4$ da $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Scomponi $4$ da $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Riscrivi $4 (961 + 63 x)$ come $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Riscrivi $961$ come $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Estrai i termini dal radicale.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Eleva $31$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Moltiplica $2$ per $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y}}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Semplifica.

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ è l'inverso di $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ e $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ e confrontali.

Trova l'intervallo di $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{961}{63}, - 15]$

Trova il dominio di $\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta il radicando in $\sqrt{961 + 63 x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$961 + 63 x \geq 0$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $961$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$63 x \geq - 961$

Dividi per $63$ ciascun termine in $63 x \geq - 961$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $63$ ciascun termine in $63 x \geq - 961$ .

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $63$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{- 961}{63}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x \geq - \frac{961}{63}$

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- \frac{961}{63}, \infty)$

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ non è un inverso di $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Non c'è alcun inverso

Step 6