Matematica discreta Esempi

$\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} = - 3 + \frac{2}{v + 7}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(v - 1) (v + 7), 1, v + 7$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $v - 1$ è $v - 1$ stesso.

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $v + 7$ è $v + 7$ stesso.

$(v + 7) = v + 7$

$(v + 7)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il minimo comune multiplo di $v - 1, v + 7, v + 7$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(v - 1) (v + 7)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(v - 1) (v + 7)$ ciascun termine in $\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} = - 3 + \frac{2}{v + 7}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} = - 3 + \frac{2}{v + 7}$ per $(v - 1) (v + 7)$ .

$\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} ((v - 1) (v + 7)) = - 3 ((v - 1) (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $(v - 1) (v + 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} ((v - 1) (v + 7)) = - 3 ((v - 1) (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$7 = - 3 ((v - 1) (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Espandi $(v - 1) (v + 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 = - 3 (v (v + 7) - 1 (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$7 = - 3 (v \cdot v + v \cdot 7 - 1 (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$7 = - 3 (v \cdot v + v \cdot 7 - 1 v - 1 \cdot 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Moltiplica $v$ per $v$ .

$7 = - 3 (v^{2} + v \cdot 7 - 1 v - 1 \cdot 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Sposta $7$ alla sinistra di $v$ .

$7 = - 3 (v^{2} + 7 \cdot v - 1 v - 1 \cdot 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.3.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 v$ come $- v$ .

$7 = - 3 (v^{2} + 7 v - v - 1 \cdot 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.3.1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$7 = - 3 (v^{2} + 7 v - v - 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.3.1.2.2

Sottrai $v$ da $7 v$ .

$7 = - 3 (v^{2} + 6 v - 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$7 = - 3 v^{2} - 3 (6 v) - 3 \cdot - 7 + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$7 = - 3 v^{2} - 18 v - 3 \cdot - 7 + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.3.1.4.2

Moltiplica $- 3$ per $- 7$ .

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $v + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $v + 7$ da $(v - 1) (v + 7)$ .

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + \frac{2}{v + 7} ((v + 7) (v - 1))$

Passaggio 2.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + \frac{2}{v + 7} ((v + 7) (v - 1))$

Passaggio 2.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + 2 (v - 1)$

Passaggio 2.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + 2 v + 2 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + 2 v - 2$

Passaggio 2.3.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $- 18 v$ e $2 v$ .

$7 = - 3 v^{2} - 16 v + 21 - 2$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $2$ da $21$ .

$7 = - 3 v^{2} - 16 v + 19$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 v^{2} - 16 v + 19 = 7$ .

$- 3 v^{2} - 16 v + 19 = 7$

Passaggio 3.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 v^{2} - 16 v + 19 - 7 = 0$

Passaggio 3.3

Sottrai $7$ da $19$ .

$- 3 v^{2} - 16 v + 12 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 v^{2} - 16 v + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 v^{2}$ .

$- (3 v^{2}) - 16 v + 12 = 0$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 16 v$ .

$- (3 v^{2}) - (16 v) + 12 = 0$

Passaggio 3.4.1.3

Riscrivi $12$ come $- 1 (- 12)$ .

$- (3 v^{2}) - (16 v) - 1 \cdot - 12 = 0$

Passaggio 3.4.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 v^{2}) - (16 v)$ .

$- (3 v^{2} + 16 v) - 1 \cdot - 12 = 0$

Passaggio 3.4.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 v^{2} + 16 v) - 1 (- 12)$ .

$- (3 v^{2} + 16 v - 12) = 0$

Passaggio 3.4.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ e la cui somma è $b = 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Scomponi $16$ da $16 v$ .

$- (3 v^{2} + 16 (v) - 12) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Riscrivi $16$ come $- 2$ più $18$ .

$- (3 v^{2} + (- 2 + 18) v - 12) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (3 v^{2} - 2 v + 18 v - 12) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- ((3 v^{2} - 2 v) + 18 v - 12) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (v (3 v - 2) + 6 (3 v - 2)) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 v - 2$ .

$- ((3 v - 2) (v + 6)) = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (3 v - 2) (v + 6) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 v - 2 = 0$

$v + 6 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $3 v - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $3 v - 2$ uguale a $0$ .

$3 v - 2 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $3 v - 2 = 0$ per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 v = 2$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 v = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 v = 2$ .

$\frac{3 v}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 v}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 3.6.2.2.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{2}{3}$

Passaggio 3.7

Imposta $v + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Imposta $v + 6$ uguale a $0$ .

$v + 6 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$v = - 6$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (3 v - 2) (v + 6) = 0$ vera.

$v = \frac{2}{3}, - 6$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$v = \frac{2}{3}, - 6$

Forma decimale:

$v = 0.\overline{6}, - 6$