Matematica discreta Esempi

$\ln^{2} (x) - \ln (x) - 2 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \ln (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\ln (x)$ con $u$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $u^{2} - u - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 2, 1$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

$\ln (x) + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\ln (x) - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\ln (x) - 2$ uguale a $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\ln (x) - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (x) = 2$

Passaggio 3.2.2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\ln (x) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi l'equazione come $x = e^{2}$ .

$x = e^{2}$

Passaggio 4

Imposta $\ln (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\ln (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\ln (x) + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\ln (x) + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (x) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $\ln (x) = - 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Passaggio 4.2.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$ vera.

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

Forma decimale:

$x = 7.38905609 \dots, 0.36787944 \dots$