Matematica discreta Esempi

${(3 x - 4)}^{3}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

È possibile utilizzare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla linea $n + 1$ del triangolo. Per ${(3 x - 4)}^{3}$ , $n = 3$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla linea $4$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $3 x$ e $b$ $- 4$ nell'espressione.

$1 {(3 x)}^{3} {(- 4)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(3 x)}^{3}$ per $1$ .

${(3 x)}^{3} {(- 4)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$3^{3} x^{3} {(- 4)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 x^{3} {(- 4)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$27 x^{3} \cdot 1 + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $27$ per $1$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.6

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sposta $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.7.2

Moltiplica $3^{2}$ per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.8

Semplifica $3^{3} x^{2} {(- 4)}^{1}$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 4 + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.9

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 4 + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.10

Moltiplica $- 4$ per $27$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.11

Semplifica.

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 3 (3 x) {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.12

Moltiplica $3$ per $3$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 9 x {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.13

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 9 x \cdot 16 + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.14

Moltiplica $16$ per $9$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.15

Moltiplica ${(3 x)}^{0}$ per $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.16

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + 3^{0} x^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.17

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + 1 x^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.18

Moltiplica $x^{0}$ per $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + x^{0} {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.19

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + 1 {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.20

Moltiplica ${(- 4)}^{3}$ per $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + {(- 4)}^{3}$

Passaggio 4.21

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x - 64$