Matematica discreta Esempi

$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = - 15$

Passaggio 1

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 15 = 0$

Passaggio 2

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $8$ per $2$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 16 y + 2 \cdot 15 = 0$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $15$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 16 y + 30 = 0$

Passaggio 3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 16$ e $c = x^{2} - 12 x + 30$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 12 x + 30))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 12 x + 30)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot (x^{2} - 12 x + 30)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} - 8 (- 12 x) - 8 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

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Passaggio 5.1.4.1

Moltiplica $- 12$ per $- 8$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} + 96 x - 8 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $- 8$ per $30$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} + 96 x - 240}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.5

Sottrai $240$ da $256$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 8 x^{2} + 96 x + 16}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.6

Scomponi $8$ da $- 8 x^{2} + 96 x + 16$ .

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Passaggio 5.1.6.1

Scomponi $8$ da $- 8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 96 x + 16}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.6.2

Scomponi $8$ da $96 x$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 8 (12 x) + 16}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.6.3

Scomponi $8$ da $16$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 8 (12 x) + 8 (2)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.6.4

Scomponi $8$ da $8 (- x^{2}) + 8 (12 x)$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2} + 12 x) + 8 (2)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.6.5

Scomponi $8$ da $8 (- x^{2} + 12 x) + 8 (2)$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.7

Riscrivi $8 (- x^{2} + 12 x + 2)$ come $2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))$ .

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Passaggio 5.1.7.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (2) (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.7.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{4}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{4}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2}$

Passaggio 6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{8 - \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)} + 8}{2}$