Matematica discreta Esempi

$27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$27 u^{2} + 21 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 27 \cdot 4 = 108$ e la cui somma è $b = 21$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $21$ da $21 u$ .

$27 u^{2} + 21 (u) + 4 = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $21$ come $9$ più $12$ .

$27 u^{2} + (9 + 12) u + 4 = 0$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$27 u^{2} + 9 u + 12 u + 4 = 0$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(27 u^{2} + 9 u) + 12 u + 4 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$9 u (3 u + 1) + 4 (3 u + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 u + 1 = 0$

$9 u + 4 = 0$

Passaggio 4

Imposta $3 u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $3 u + 1$ uguale a $0$ .

$3 u + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $3 u + 1 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 u = - 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 u = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 u = - 1$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Imposta $9 u + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $9 u + 4$ uguale a $0$ .

$9 u + 4 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $9 u + 4 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 u = - 4$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 u = - 4$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 u = - 4$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 4}{9}$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{4}{9}$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$ vera.

$u = - \frac{1}{3}, - \frac{4}{9}$

Passaggio 7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

Passaggio 8

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 9.2.1

Riscrivi $- \frac{1}{3}$ come $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Passaggio 9.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Passaggio 9.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Passaggio 9.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Passaggio 9.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 9.2.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.2.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 9.2.7

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.2.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 9.2.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 9.2.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 9.2.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.2.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 9.2.7.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 9.2.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.2.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.2.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.2.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.2.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.2.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 9.2.7.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.2.8

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 9.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 10

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

Passaggio 11

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = - \frac{4}{9}$

Passaggio 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$

Passaggio 11.3

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$ .

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Passaggio 11.3.1

Riscrivi $- \frac{4}{9}$ come ${(\frac{2 i}{3})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{2 i}{3})}^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{2 i}{3}$

Passaggio 11.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{2 i}{3}$

Passaggio 11.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{2 i}{3}$

Passaggio 11.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$

Passaggio 12

La soluzione di $27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$ è $x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$ .

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$