Matematica discreta Esempi

$8 \cdot 2^{x} = 81 \cdot 3^{x - 1}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (8 \cdot 2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\ln (8 \cdot 2^{x})$ come $\ln (8) + \ln (2^{x})$ .

$\ln (8) + \ln (2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (2^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Passaggio 3

Espandi il lato destro.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $\ln (81 \cdot 3^{x - 1})$ come $\ln (81) + \ln (3^{x - 1})$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + \ln (3^{x - 1})$

Passaggio 3.2

Espandi $\ln (3^{x - 1})$ spostando $x - 1$ fuori dal logaritmo.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + (x - 1) \ln (3)$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.1

Semplifica $\ln (81) + (x - 1) \ln (3)$ .

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Passaggio 4.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - 1 \ln (3)$

Passaggio 4.1.1.2

Riscrivi $- 1 \ln (3)$ come $- \ln (3)$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - \ln (3)$

Passaggio 4.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (\frac{81}{3})$

Passaggio 4.1.3

Dividi $81$ per $3$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (27)$

Passaggio 5

Riordina $\ln (8)$ e $x \ln (2)$ .

$x \ln (2) + \ln (8) = x \ln (3) + \ln (27)$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$x \ln (2) + \ln (8) - x \ln (3) - \ln (27) = 0$

Passaggio 7

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (\frac{8}{27}) = 0$

Passaggio 8

Sottrai $\ln (\frac{8}{27})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (2) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

Passaggio 9

Scomponi $x$ da $x \ln (2) - x \ln (3)$ .

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Passaggio 9.1

Scomponi $x$ da $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

Passaggio 9.2

Scomponi $x$ da $- x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Passaggio 9.3

Scomponi $x$ da $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ .

$x (\ln (2) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Passaggio 10

Riscrivi $- 1 \ln (3)$ come $- \ln (3)$ .

$x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Passaggio 11

Dividi per $\ln (2) - \ln (3)$ ciascun termine in $x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ e semplifica.

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Passaggio 11.1

Dividi per $\ln (2) - \ln (3)$ ciascun termine in $x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 11.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2) - \ln (3)$ .

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Passaggio 11.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Passaggio 11.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Passaggio 11.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Forma decimale:

$x = - 3$