Matematica discreta Esempi

$8000 e^{0.06 t} = 47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (8000 e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $\ln (8000 e^{0.06 t})$ come $\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t})$ .

$\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (e^{0.06 t})$ spostando $0.06 t$ fuori dal logaritmo.

$\ln (8000) + 0.06 t \ln (e) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Passaggio 2.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t \cdot 1 = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Passaggio 2.4

Moltiplica $0.06$ per $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Passaggio 3

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $\ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ come $\ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Passaggio 3.2

Espandi $\ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ spostando $t$ fuori dal logaritmo.

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + \frac{0.03}{1})$

Passaggio 3.3

Dividi $0.03$ per $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + 0.03)$

Passaggio 3.4

Somma $1$ e $0.03$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1.03)$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (8000) - \ln (47000) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Passaggio 5

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8000}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $8000$ e $47000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $1000$ da $8000$ .

$\ln (\frac{1000 (8)}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Passaggio 6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $1000$ da $47000$ .

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Passaggio 7

Somma $0.06 t$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) + 0.06 t = 0$

Passaggio 8

Sottrai $\ln (\frac{8}{47})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- t \ln (1.03) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

Passaggio 9

Scomponi $0.02 t$ da $- t \ln (1.03) + 0.06 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi $0.02 t$ da $- t \ln (1.03)$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

Passaggio 9.2

Scomponi $0.02 t$ da $0.06 t$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3) = - \ln (\frac{8}{47})$

Passaggio 9.3

Scomponi $0.02 t$ da $0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3)$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$

Passaggio 10

Dividi per $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ ciascun termine in $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi per $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ ciascun termine in $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ .

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Passaggio 10.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Elimina il fattore comune di $0.02$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Passaggio 10.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune di $- 50 \ln (1.03) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Passaggio 10.2.2.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Passaggio 10.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{\ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica per $1$ .

$t = - \frac{1 \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Passaggio 10.3.3

Frazioni separate.

$t = - (\frac{1}{0.02} \cdot \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

Passaggio 10.3.4

Dividi $1$ per $0.02$ .

$t = - (50 \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

Passaggio 10.3.5

$50$ e $\frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$

Passaggio 10.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 50 \ln (1.03)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) + 3}$

Passaggio 10.3.7

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)}$

Passaggio 10.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03) - 3)}$

Passaggio 10.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.9.1

Riscrivi $- (50 \ln (1.03) - 3)$ come $- 1 (50 \ln (1.03) - 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 1 (50 \ln (1.03) - 3)}$

Passaggio 10.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Passaggio 10.3.9.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$t = 1 \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Passaggio 10.3.9.4

Moltiplica $\frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$ per $1$ .

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Forma decimale:

$t = 58.16808110 \dots$