Matematica discreta Esempi

$2^{2 x} + 128 = 24 \cdot 2^{x}$

Passaggio 1

Sottrai $24 \cdot 2^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2^{2 x} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

Passaggio 2

Riscrivi $2^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

${(2^{x})}^{2} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

Passaggio 3

Sostituisci $2^{x}$ per $u$ .

$u^{2} + 128 - 24 u = 0$

Passaggio 4

Sposta $128$ .

$u^{2} - 24 u + 128 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $u^{2} - 24 u + 128$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $128$ e la cui somma è $- 24$ .

$- 16, - 8$

Passaggio 5.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 16) (u - 8) = 0$

Passaggio 5.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 16 = 0$

$u - 8 = 0$

Passaggio 5.3

Imposta $u - 16$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta $u - 16$ uguale a $0$ .

$u - 16 = 0$

Passaggio 5.3.2

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 16$

Passaggio 5.4

Imposta $u - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.4.1

Imposta $u - 8$ uguale a $0$ .

$u - 8 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 8$

Passaggio 5.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 16) (u - 8) = 0$ vera.

$u = 16, 8$

Passaggio 6

Sostituisci $16$ per $u$ in $u = 2^{x}$ .

$16 = 2^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $16 = 2^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $2^{x} = 16$ .

$2^{x} = 16$

Passaggio 7.2

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$2^{x} = 2^{4}$

Passaggio 7.3

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 4$

Passaggio 8

Sostituisci $8$ per $u$ in $u = 2^{x}$ .

$8 = 2^{x}$

Passaggio 9

Risolvi $8 = 2^{x}$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $2^{x} = 8$ .

$2^{x} = 8$

Passaggio 9.2

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$2^{x} = 2^{3}$

Passaggio 9.3

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 3$

Passaggio 10

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = 4, 3$