Matematica discreta Esempi

$5^{2 x} + 3 (5^{x}) = 28$

Passaggio 1

Riscrivi $5^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

${(5^{x})}^{2} + 3 \cdot 5^{x} = 28$

Passaggio 2

Sostituisci $5^{x}$ per $u$ .

$u^{2} + 3 u = 28$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $28$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + 3 u - 28 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $u^{2} + 3 u - 28$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 28$ e la cui somma è $3$ .

$- 4, 7$

Passaggio 3.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 4) (u + 7) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 7 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $u - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $u - 4$ uguale a $0$ .

$u - 4 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 4$

Passaggio 3.5

Imposta $u + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $u + 7$ uguale a $0$ .

$u + 7 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 7$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 4) (u + 7) = 0$ vera.

$u = 4, - 7$

Passaggio 4

Sostituisci $4$ per $u$ in $u = 5^{x}$ .

$4 = 5^{x}$

Passaggio 5

Risolvi $4 = 5^{x}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $5^{x} = 4$ .

$5^{x} = 4$

Passaggio 5.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

Passaggio 5.3

Espandi $\ln (5^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (4)$

Passaggio 5.4

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $x \ln (5) = \ln (4)$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $x \ln (5) = \ln (4)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Passaggio 6

Sostituisci $- 7$ per $u$ in $u = 5^{x}$ .

$- 7 = 5^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $- 7 = 5^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $5^{x} = - 7$ .

$5^{x} = - 7$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 7)$

Passaggio 7.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 7)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 7.4

Non c'è soluzione per $5^{x} = - 7$

Nessuna soluzione

Passaggio 8

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Forma decimale:

$x = 0.86135311 \dots$