Matematica discreta Esempi

$2 z^{\frac{13}{5}} - 14 z^{\frac{8}{5}} + 12 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Passaggio 1

Trova un fattore comune $z^{\frac{3}{5}}$ che è presente in ciascun termine.

$2 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{13}{3}} - 14 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{8}{3}} + 12 z^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 2

Sostituisci $z^{\frac{3}{5}}$ per $u$ .

$2 {(u)}^{\frac{13}{3}} - 14 {(u)}^{\frac{8}{3}} + 12 (u) = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $2 u$ da $2 u^{\frac{13}{3}} - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u$ .

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Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $2 u$ da $2 u^{\frac{13}{3}}$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u = 0$

Passaggio 3.1.1.2

Scomponi $2 u$ da $- 14 u^{\frac{8}{3}}$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 12 u = 0$

Passaggio 3.1.1.3

Scomponi $2 u$ da $12 u$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

Passaggio 3.1.1.4

Scomponi $2 u$ da $2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}})$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

Passaggio 3.1.1.5

Scomponi $2 u$ da $2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6)$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $u^{\frac{10}{3}}$ come ${(u^{\frac{5}{3}})}^{2}$ .

$2 u ({(u^{\frac{5}{3}})}^{2} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

Passaggio 3.1.3

Sia $u = u^{\frac{5}{3}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $u^{\frac{5}{3}}$ con $u$ .

$2 u (u^{2} - 7 u + 6) = 0$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $u^{2} - 7 u + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 6, - 1$

Passaggio 3.1.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$2 u ((u - 6) (u - 1)) = 0$

Passaggio 3.1.5

Scomponi.

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Passaggio 3.1.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 u ((u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1)) = 0$

Passaggio 3.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $u$ uguale a $0$ .

$u = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $u^{\frac{5}{3}} - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $u^{\frac{5}{3}} - 6$ uguale a $0$ .

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{\frac{5}{3}} = 6$

Passaggio 3.4.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{5}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{1} = 6^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Semplifica.

$u = 6^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.5

Imposta $u^{\frac{5}{3}} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $u^{\frac{5}{3}} - 1$ uguale a $0$ .

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{\frac{5}{3}} = 1$

Passaggio 3.5.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{5}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica l'esponente.

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Passaggio 3.5.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1

Semplifica ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{1} = 1^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.2

Semplifica.

$u = 1^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.5.2.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u = 1$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$ vera.

$u = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

Passaggio 4

Sostituisci $u$ per $z$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

Passaggio 5

Risolvi per $z^{\frac{3}{5}} = 0$ per $z$ .

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Passaggio 5.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{5}{3}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 5.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 5.2.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 5.2.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$z^{1} = 0^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica.

$z = 0^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $0^{\frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$z = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$z = 0^{5}$

Passaggio 5.2.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$z = 0$

Passaggio 6

Poiché gli esponenti sono uguali, le basi degli esponenti su entrambi i lati dell'equazione devono essere uguali.

$z = 6$

Passaggio 7

Risolvi per $z^{\frac{3}{5}} = 1$ per $z$ .

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Passaggio 7.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{5}{3}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Semplifica ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 7.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 7.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 7.2.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 7.2.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$z^{1} = 1^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Semplifica.

$z = 1^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$z = 1$

Passaggio 8

Elenca tutte le soluzioni.

$z = 0, 6, 1$