Matematica discreta Esempi

$0 = \frac{- 14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\frac{- 14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$ .

$\frac{- 14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$

Passaggio 3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1 + R, {(1 + R)}^{2}, {(1 + R)}^{3}, 1$

Passaggio 3.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 3.5

Il fattore di $1 + R$ è $1 + R$ stesso.

$(1 + R) = 1 + R$

$(1 + R)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.6

I fattori di $1 + R$ sono $(1 + R) \cdot (1 + R)$ , che corrisponde a $1 + R$ moltiplicato per se stesso $2$ volte.

$(1 + R) = (1 + R) \cdot (1 + R)$

$(1 + R)$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 3.7

I fattori di $1 + R$ sono $(1 + R) \cdot (1 + R) \cdot (1 + R)$ , che corrisponde a $1 + R$ moltiplicato per se stesso $3$ volte.

$(1 + R) = (1 + R) \cdot (1 + R) \cdot (1 + R)$

$(1 + R)$ si verifica $3$ volte.

Passaggio 3.8

Il minimo comune multiplo di $1 + R, {(1 + R)}^{2}, {(1 + R)}^{3}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

${(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4

Moltiplica per ${(1 + R)}^{3}$ ciascun termine in $- \frac{14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$ per ${(1 + R)}^{3}$ .

$- \frac{14000}{1 + R} {(1 + R)}^{3} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $1 + R$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{14000}{1 + R}$ nel numeratore.

$\frac{- 14000}{1 + R} {(1 + R)}^{3} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Scomponi $1 + R$ da ${(1 + R)}^{3}$ .

$\frac{- 14000}{1 + R} ((1 + R) {(1 + R)}^{2}) + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 14000}{1 + R} ((1 + R) {(1 + R)}^{2}) + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.2.1.2

Elimina il fattore comune di ${(1 + R)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Scomponi ${(1 + R)}^{2}$ da ${(1 + R)}^{3}$ .

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} ({(1 + R)}^{2} (1 + R)) + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} ({(1 + R)}^{2} (1 + R)) + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 (1 + R) + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 \cdot 1 + 9000 R + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $9000$ per $1$ .

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 + 9000 R + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.2.1.5

Elimina il fattore comune di ${(1 + R)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 + 9000 R + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 + 9000 R + 10000 = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.2.2

Somma $9000$ e $10000$ .

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 R + 19000 = 0 {(1 + R)}^{3}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $0$ per ${(1 + R)}^{3}$ .

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 R + 19000 = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 5.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $- 1000$ da $- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 R + 19000$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Riordina $1$ e $R$ .

$- 14000 {(R + 1)}^{2} + 9000 R + 19000 = 0$

Passaggio 5.1.1.2

Scomponi $- 1000$ da $- 14000 {(R + 1)}^{2}$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2}) + 9000 R + 19000 = 0$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi $- 1000$ da $9000 R$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2}) - 1000 (- 9 R) + 19000 = 0$

Passaggio 5.1.1.4

Scomponi $- 1000$ da $19000$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2}) - 1000 (- 9 R) - 1000 \cdot - 19 = 0$

Passaggio 5.1.1.5

Scomponi $- 1000$ da $- 1000 (14 {(R + 1)}^{2}) - 1000 (- 9 R)$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2} - 9 R) - 1000 \cdot - 19 = 0$

Passaggio 5.1.1.6

Scomponi $- 1000$ da $- 1000 (14 {(R + 1)}^{2} - 9 R) - 1000 (- 19)$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2} - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi ${(R + 1)}^{2}$ come $(R + 1) (R + 1)$ .

$- 1000 (14 ((R + 1) (R + 1)) - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.3

Espandi $(R + 1) (R + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1000 (14 (R (R + 1) + 1 (R + 1)) - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 1000 (14 (R \cdot R + R \cdot 1 + 1 (R + 1)) - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 1000 (14 (R \cdot R + R \cdot 1 + 1 R + 1 \cdot 1) - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.4.1.1

Moltiplica $R$ per $R$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + R \cdot 1 + 1 R + 1 \cdot 1) - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.4.1.2

Moltiplica $R$ per $1$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + R + 1 R + 1 \cdot 1) - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.4.1.3

Moltiplica $R$ per $1$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + R + R + 1 \cdot 1) - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.4.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + R + R + 1) - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $R$ e $R$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + 2 R + 1) - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$- 1000 (14 R^{2} + 14 (2 R) + 14 \cdot 1 - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.6

Semplifica.

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Passaggio 5.1.6.1

Moltiplica $2$ per $14$ .

$- 1000 (14 R^{2} + 28 R + 14 \cdot 1 - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.6.2

Moltiplica $14$ per $1$ .

$- 1000 (14 R^{2} + 28 R + 14 - 9 R - 19) = 0$

Passaggio 5.1.7

Sottrai $9 R$ da $28 R$ .

$- 1000 (14 R^{2} + 19 R + 14 - 19) = 0$

Passaggio 5.1.8

Sottrai $19$ da $14$ .

$- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5) = 0$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 1000$ ciascun termine in $- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 1000$ ciascun termine in $- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5) = 0$ .

$\frac{- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5)}{- 1000} = \frac{0}{- 1000}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 1000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5)}{- 1000} = \frac{0}{- 1000}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $14 R^{2} + 19 R - 5$ per $1$ .

$14 R^{2} + 19 R - 5 = \frac{0}{- 1000}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Dividi $0$ per $- 1000$ .

$14 R^{2} + 19 R - 5 = 0$

Passaggio 5.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.4

Sostituisci i valori $a = 14$ , $b = 19$ e $c = - 5$ nella formula quadratica e risolvi per $R$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (14 \cdot - 5)}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.5.1.1

Eleva $19$ alla potenza di $2$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 14 \cdot - 5}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 5.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 14 \cdot - 5$ .

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Passaggio 5.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $14$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 56 \cdot - 5}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 5.5.1.2.2

Moltiplica $- 56$ per $- 5$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 280}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 5.5.1.3

Somma $361$ e $280$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{641}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $2$ per $14$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{641}}{28}$

Passaggio 5.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$R = - \frac{19 - \sqrt{641}}{28}, - \frac{19 + \sqrt{641}}{28}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$R = - \frac{19 - \sqrt{641}}{28}, - \frac{19 + \sqrt{641}}{28}$

Forma decimale:

$R = 0.22564206 \dots, - 1.58278492 \dots$