Matematica discreta Esempi

$\frac{6}{m + 5} = 1 - \frac{1}{m - 5}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$m + 5, 1, m - 5$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $m + 5$ è $m + 5$ stesso.

$(m + 5) = m + 5$

$(m + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $m - 5$ è $m - 5$ stesso.

$(m - 5) = m - 5$

$(m - 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il minimo comune multiplo di $m + 5, m - 5$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(m + 5) (m - 5)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(m + 5) (m - 5)$ ciascun termine in $\frac{6}{m + 5} = 1 - \frac{1}{m - 5}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{6}{m + 5} = 1 - \frac{1}{m - 5}$ per $(m + 5) (m - 5)$ .

$\frac{6}{m + 5} ((m + 5) (m - 5)) = 1 ((m + 5) (m - 5)) - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $m + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{m + 5} ((m + 5) (m - 5)) = 1 ((m + 5) (m - 5)) - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$6 (m - 5) = 1 ((m + 5) (m - 5)) - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 m + 6 \cdot - 5 = 1 ((m + 5) (m - 5)) - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $6$ per $- 5$ .

$6 m - 30 = 1 ((m + 5) (m - 5)) - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $(m + 5) (m - 5)$ per $1$ .

$6 m - 30 = (m + 5) (m - 5) - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(m + 5) (m - 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 m - 30 = m (m - 5) + 5 (m - 5) - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 m - 30 = m \cdot m + m \cdot - 5 + 5 (m - 5) - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 m - 30 = m \cdot m + m \cdot - 5 + 5 m + 5 \cdot - 5 - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.3.1.3

Combina i termini opposti in $m \cdot m + m \cdot - 5 + 5 m + 5 \cdot - 5$ .

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Passaggio 2.3.1.3.1

Riordina i fattori nei termini di $m \cdot - 5$ e $5 m$ .

$6 m - 30 = m \cdot m - 5 m + 5 m + 5 \cdot - 5 - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.3.1.3.2

Somma $- 5 m$ e $5 m$ .

$6 m - 30 = m \cdot m + 0 + 5 \cdot - 5 - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.3.1.3.3

Somma $m \cdot m$ e $0$ .

$6 m - 30 = m \cdot m + 5 \cdot - 5 - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.4.1

Moltiplica $m$ per $m$ .

$6 m - 30 = m^{2} + 5 \cdot - 5 - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.3.1.4.2

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$6 m - 30 = m^{2} - 25 - \frac{1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $m - 5$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{m - 5}$ nel numeratore.

$6 m - 30 = m^{2} - 25 + \frac{- 1}{m - 5} ((m + 5) (m - 5))$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $m - 5$ da $(m + 5) (m - 5)$ .

$6 m - 30 = m^{2} - 25 + \frac{- 1}{m - 5} ((m - 5) (m + 5))$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$6 m - 30 = m^{2} - 25 + \frac{- 1}{m - 5} ((m - 5) (m + 5))$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$6 m - 30 = m^{2} - 25 - (m + 5)$

Passaggio 2.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$6 m - 30 = m^{2} - 25 - m - 1 \cdot 5$

Passaggio 2.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$6 m - 30 = m^{2} - 25 - m - 5$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $5$ da $- 25$ .

$6 m - 30 = m^{2} - m - 30$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $m$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$m^{2} - m - 30 = 6 m - 30$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $m$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $6 m$ da entrambi i lati dell'equazione.

$m^{2} - m - 30 - 6 m = - 30$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $6 m$ da $- m$ .

$m^{2} - 7 m - 30 = - 30$

Passaggio 3.3

Somma $30$ a entrambi i lati dell'equazione.

$m^{2} - 7 m - 30 + 30 = 0$

Passaggio 3.4

Combina i termini opposti in $m^{2} - 7 m - 30 + 30$ .

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Passaggio 3.4.1

Somma $- 30$ e $30$ .

$m^{2} - 7 m + 0 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $m^{2} - 7 m$ e $0$ .

$m^{2} - 7 m = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi $m$ da $m^{2} - 7 m$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $m$ da $m^{2}$ .

$m \cdot m - 7 m = 0$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $m$ da $- 7 m$ .

$m \cdot m + m \cdot - 7 = 0$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $m$ da $m \cdot m + m \cdot - 7$ .

$m (m - 7) = 0$

Passaggio 3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$m = 0$

$m - 7 = 0$

Passaggio 3.7

Imposta $m$ uguale a $0$ .

$m = 0$

Passaggio 3.8

Imposta $m - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $m$ .

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Passaggio 3.8.1

Imposta $m - 7$ uguale a $0$ .

$m - 7 = 0$

Passaggio 3.8.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$m = 7$

Passaggio 3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $m (m - 7) = 0$ vera.

$m = 0, 7$