Matematica discreta Esempi

$\frac{x + 1}{2 - x} < \frac{x}{33 + x}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x}{33 + x}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{x + 1}{2 - x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{x}{33 + x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(2 - x) (33 + x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{x + 1}{2 - x}$ per $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{x}{33 + x}$ per $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(33 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(33 + x) (2 - x)$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + 1) (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Espandi $(x + 1) (33 + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (33 + x) + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Sposta $33$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{33 \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.2.1.3

Moltiplica $33$ per $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $33 x$ e $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x \cdot 2 - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.6.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.7

Sottrai $2 x$ da $34 x$ .

$\frac{32 x + x^{2} + 33 + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.8

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{32 x + 2 x^{2} + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 2.5.9

Riordina i termini.

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$2 x^{2} + 32 x + 33 = 0$

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Passaggio 4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 32$ e $c = 33$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 33)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 33$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 8 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $33$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 264}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.3

Sottrai $264$ da $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{760}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi $760$ come $2^{2} \cdot 190$ .

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Passaggio 6.1.4.1

Scomponi $4$ da $760$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (190)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 190}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$

Passaggio 6.3

Semplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{190}}{2}$

Passaggio 7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

Passaggio 8

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 9

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 9.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 10

Sottrai $33$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 33$

Passaggio 11

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$x = 2$

$x = - 33$

Passaggio 12

Consolida le soluzioni.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, 2, - 33$

Passaggio 13

Trova il dominio di $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(2 - x) (33 + x) = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Passaggio 13.2.2

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

Passaggio 13.2.2.2

Risolvi $2 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 13.2.2.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 13.2.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 13.2.2.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 13.2.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 13.2.3

Imposta $33 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

Imposta $33 + x$ uguale a $0$ .

$33 + x = 0$

Passaggio 13.2.3.2

Sottrai $33$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 33$

Passaggio 13.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 - x) (33 + x) = 0$ vera.

$x = 2, - 33$

Passaggio 13.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 33) \cup (- 33, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 14

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 33$

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 15

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 15.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 33$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 33$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 36$

Passaggio 15.1.2

Sostituisci $x$ con $- 36$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 36) + 1}{2 - (- 36)} < \frac{- 36}{33 - 36}$

Passaggio 15.1.3

Il lato sinistro di $- 0.92105263$ è minore del lato destro di $12$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 15.2

Testa un valore sull'intervallo $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 17$

Passaggio 15.2.2

Sostituisci $x$ con $- 17$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 17) + 1}{2 - (- 17)} < \frac{- 17}{33 - 17}$

Passaggio 15.2.3

Il lato sinistro di $- 0.84210526$ non è minore del lato destro di $- 1.0625$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 15.3

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 15.3.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 4) + 1}{2 - (- 4)} < \frac{- 4}{33 - 4}$

Passaggio 15.3.3

Il lato sinistro di $- 0.5$ è minore del lato destro di $- 0.13793103$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 15.4

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 15.4.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(0) + 1}{2 - (0)} < \frac{0}{33 + 0}$

Passaggio 15.4.3

Il lato sinistro di $0.5$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 15.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 15.5.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(4) + 1}{2 - (4)} < \frac{4}{33 + 4}$

Passaggio 15.5.3

Il lato sinistro di $- 2.5$ è minore del lato destro di $0.\overline{108}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 15.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 33$ Vero

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Falso

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Vero

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

$x < - 33$ Vero

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Falso

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Vero

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

Passaggio 16

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 33$ o $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ o $x > 2$

Passaggio 17

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 33 or - \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2} or x > 2$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 33) \cup (- \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}) \cup (2, \infty)$

Passaggio 18