Matematica discreta Esempi

$\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x - 1)) = \ln (2) + \ln (3)$

Passaggio 1.2

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Passaggio 1.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Passaggio 1.2.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x) = \ln (2) + \ln (3)$

Passaggio 1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2) + \ln (3)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2 \cdot 3)$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (6)$

Passaggio 3

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x^{2} - x = 6$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 4.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Passaggio 4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 4.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 3, - 2$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$ vera.

$x = 3$