Matematica discreta Esempi

$\ln (1 - x) + \ln (8 - x) = \ln (18)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((1 - x) (8 - x)) = \ln (18)$

Passaggio 1.2

Espandi $(1 - x) (8 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (1 (8 - x) - x (8 - x)) = \ln (18)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (1 \cdot 8 + 1 (- x) - x (8 - x)) = \ln (18)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (1 \cdot 8 + 1 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\ln (8 + 1 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\ln (8 - x - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\ln (8 - x - 8 x - x (- x)) = \ln (18)$

Passaggio 1.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (18)$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (18)$

Passaggio 1.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (18)$

Passaggio 1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (8 - x - 8 x + 1 x^{2}) = \ln (18)$

Passaggio 1.3.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\ln (8 - x - 8 x + x^{2}) = \ln (18)$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $8 x$ da $- x$ .

$\ln (8 - 9 x + x^{2}) = \ln (18)$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$8 - 9 x + x^{2} = 18$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $18$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 - 9 x + x^{2} - 18 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $18$ da $8$ .

$- 9 x + x^{2} - 10 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$- 9 u + u^{2} - 10 = 0$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $- 9 u + u^{2} - 10$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 10$ e la cui somma è $- 9$ .

$- 10, 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 10) (u + 1) = 0$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x - 10) (x + 1) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 3.6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 10) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 10, - 1$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (1 - x) + \ln (8 - x) = \ln (18)$ vera.

$x = - 1$