Matematica discreta Esempi

$\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 2) (2 x + 1)) = 8$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 2) (2 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 8$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1)) = 8$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Passaggio 1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1) = 8$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 8$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $4 x$ da $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$

Passaggio 2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (2 x^{2} - 3 x - 2)} = e^{8}$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{8} = 2 x^{2} - 3 x - 2$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$

Passaggio 4.2

Sottrai $e^{8}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - e^{8} = 0$

Passaggio 4.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.4

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 3$ e $c = - 2 - e^{8}$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 2 - e^{8}))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.5.1.4

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.5.1.6

Somma $9$ e $16$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Passaggio 4.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}, \frac{3 - \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$ vera.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Forma decimale:

$x = 39.37695294 \dots$