Matematica discreta Esempi

5 {log}_{2} (x) - {log}_{2} (2 x^{3}) = 5

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

5 {log}_{2} (x) - {log}_{2} (2 x^{3}) = 5

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Semplifica

5 {log}_{2} (x) - {log}_{2} (2 x^{3})

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3})$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica

5 {log}_{2} (x)

$5 \log_{2} (x)$ spostando

5

$5$ all'interno del logaritmo.

{log}_{2} (x^{5}) - {log}_{2} (2 x^{3}) = 5

$\log_{2} (x^{5}) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

{log}_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5

$\log_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5$

Passaggio 2.1.3

Riduci l'espressione

\frac{x^{5}}{2 x^{3}}

$\frac{x^{5}}{2 x^{3}}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 2.1.3.1

Scomponi

x^{3}

$x^{3}$ da

x^{5}

$x^{5}$ .

{log}_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5$

Passaggio 2.1.3.2

Scomponi

x^{3}

$x^{3}$ da

2 x^{3}

$2 x^{3}$ .

{log}_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Passaggio 2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Passaggio 2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{2}) = 5$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi

$\frac{x^{2}}{2}$ come

$x^{2} \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1}) = 5$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1})$ come

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1}) = 5$

Passaggio 2.1.6

Utilizza le regole del logaritmo per togliere

$- 1$ dall'esponente.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2) = 5$

Passaggio 2.1.7

Il logaritmo in base

$2$ di

$2$ è

$1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 \cdot 1 = 5$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 = 5$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini non contenenti

$x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Somma

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{2} (x^{2}) = 5 + 1$

Passaggio 3.2

Somma

$5$ e

$1$ .

$\log_{2} (x^{2}) = 6$

Passaggio 4

Scrivi in forma esponenziale.

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Passaggio 4.1

Per le equazioni logaritmiche,

$\log_{b} (x) = y$ è equivalente a

$b^{y} = x$ tale che

$x > 0$ ,

$b > 0$ e

$b \neq 1$ . In questo caso,

$b = 2$ ,

$x = x^{2}$ e

$y = 6$ .

$b = 2$

$x = x^{2}$

$y = 6$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di

$b$ ,

$x$ e

$y$ nell'equazione

$b^{y} = x$ .

$2^{6} = x^{2}$

Passaggio 5

Risolvi per

$x$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come

$x^{2} = 2^{6}$ .

$x^{2} = 2^{6}$

Passaggio 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2^{6}}$

Passaggio 5.3

Semplifica

$\pm \sqrt{2^{6}}$ .

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Passaggio 5.3.1

Eleva

$2$ alla potenza di

$6$ .

$x = \pm \sqrt{64}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi

$64$ come

$8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 8$

Passaggio 5.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 8$

Passaggio 5.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 8$

Passaggio 5.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 8, - 8$

Passaggio 6

Escludi le soluzioni che non rendono

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$ vera.

$x = 8$