Matematica discreta Esempi

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3})$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica $5 \log_{2} (x)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$\log_{2} (x^{5}) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5$

Passaggio 2.1.3

Riduci l'espressione $\frac{x^{5}}{2 x^{3}}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 2.1.3.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{5}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5$

Passaggio 2.1.3.2

Scomponi $x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Passaggio 2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Passaggio 2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{2}) = 5$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $\frac{x^{2}}{2}$ come $x^{2} \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1}) = 5$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi $\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1})$ come $\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1}) = 5$

Passaggio 2.1.6

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $- 1$ dall'esponente.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2) = 5$

Passaggio 2.1.7

Il logaritmo in base $2$ di $2$ è $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 \cdot 1 = 5$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 = 5$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{2} (x^{2}) = 5 + 1$

Passaggio 3.2

Somma $5$ e $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) = 6$

Passaggio 4

Scrivi in forma esponenziale.

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Passaggio 4.1

Per le equazioni logaritmiche, $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ tale che $x > 0$ , $b > 0$ e $b \neq 1$ . In questo caso, $b = 2$ , $x = x^{2}$ e $y = 6$ .

$b = 2$

$x = x^{2}$

$y = 6$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $b$ , $x$ e $y$ nell'equazione $b^{y} = x$ .

$2^{6} = x^{2}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} = 2^{6}$ .

$x^{2} = 2^{6}$

Passaggio 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2^{6}}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\pm \sqrt{2^{6}}$ .

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Passaggio 5.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$x = \pm \sqrt{64}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 8$

Passaggio 5.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 8$

Passaggio 5.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 8$

Passaggio 5.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 8, - 8$

Passaggio 6

Escludi le soluzioni che non rendono $5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$ vera.

$x = 8$