Matematica discreta Esempi

${(3 x - 2)}^{5}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

È possibile utilizzare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla linea $n + 1$ del triangolo. Per ${(3 x - 2)}^{5}$ , $n = 5$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla linea $6$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $3 x$ e $b$ $- 2$ nell'espressione.

$1 {(3 x)}^{5} {(- 2)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(3 x)}^{5}$ per $1$ .

${(3 x)}^{5} {(- 2)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$3^{5} x^{5} {(- 2)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.3

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$243 x^{5} {(- 2)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$243 x^{5} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $243$ per $1$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.6

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(- 2)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.7

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(- 2)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.8

Moltiplica $81$ per $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(- 2)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.9

Calcola l'esponente.

$243 x^{5} + 405 x^{4} \cdot - 2 + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.10

Moltiplica $- 2$ per $405$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.11

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 10 (3^{3} x^{3}) {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.12

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 10 (27 x^{3}) {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.13

Moltiplica $27$ per $10$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 270 x^{3} {(- 2)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.14

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 270 x^{3} \cdot 4 + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.15

Moltiplica $4$ per $270$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.16

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} + 10 (3^{2} x^{2}) {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.17

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} + 10 (9 x^{2}) {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.18

Moltiplica $9$ per $10$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} + 90 x^{2} {(- 2)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.19

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} + 90 x^{2} \cdot - 8 + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.20

Moltiplica $- 8$ per $90$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} - 720 x^{2} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.21

Semplifica.

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} - 720 x^{2} + 5 (3 x) {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.22

Moltiplica $3$ per $5$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} - 720 x^{2} + 15 x {(- 2)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.23

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} - 720 x^{2} + 15 x \cdot 16 + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.24

Moltiplica $16$ per $15$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} - 720 x^{2} + 240 x + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.25

Moltiplica ${(3 x)}^{0}$ per $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} - 720 x^{2} + 240 x + {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.26

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} - 720 x^{2} + 240 x + 3^{0} x^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.27

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} - 720 x^{2} + 240 x + 1 x^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.28

Moltiplica $x^{0}$ per $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} - 720 x^{2} + 240 x + x^{0} {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.29

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} - 720 x^{2} + 240 x + 1 {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.30

Moltiplica ${(- 2)}^{5}$ per $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} - 720 x^{2} + 240 x + {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.31

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} + 1080 x^{3} - 720 x^{2} + 240 x - 32$