Matematica discreta Esempi

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$

Passaggio 1

Scrivi $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ come un'equazione.

$y = 20000 {(1.02)}^{t}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$t = 20000 {(1.02)}^{y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ .

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$

Passaggio 3.2

Dividi per $20000$ ciascun termine in $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $20000$ ciascun termine in $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ .

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $20000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi ${1.02}^{y}$ per $1$ .

${1.02}^{y} = \frac{t}{20000}$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({1.02}^{y}) = \ln (\frac{t}{20000})$

Passaggio 3.4

Espandi $\ln ({1.02}^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$

Passaggio 3.5

Dividi per $\ln (1.02)$ ciascun termine in $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $\ln (1.02)$ ciascun termine in $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ .

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (1.02)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Passaggio 5

Verifica se $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ è l'inverso di $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $P^{- 1} (P (t)) = t$ e $P (P^{- 1} (t)) = t$ .

Passaggio 5.2

Calcola $P^{- 1} (P (t))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$P^{- 1} (P (t))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t})$ sostituendo il valore di $P$ in $P^{- 1}$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $20000$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi ${(1.02)}^{t}$ per $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln ({(1.02)}^{t})}{\ln (1.02)}$

Passaggio 5.2.4

Espandi $\ln ({(1.02)}^{t})$ spostando $t$ fuori dal logaritmo.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $\ln (1.02)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Passaggio 5.2.5.2

Dividi $t$ per $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = t$

Passaggio 5.3

Calcola $P (P^{- 1} (t))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$P (P^{- 1} (t))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)})$ sostituendo il valore di $P^{- 1}$ in $P$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 {(1.02)}^{\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}}$

Passaggio 5.3.3

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot {1.02}^{\log_{1.02} (\frac{t}{20000})}$

Passaggio 5.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Passaggio 5.3.5

Elimina il fattore comune di $20000$ .

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Passaggio 5.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = t$

Passaggio 5.4

Poiché $P^{- 1} (P (t)) = t$ e $P (P^{- 1} (t)) = t$ , allora $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ è l'inverso di $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$