Matematica discreta Esempi

$8 y^{3} - 1 = 0$

Passaggio 1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 y^{3} = 1$

Passaggio 2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 y^{3} - 1 = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $8 y^{3}$ come ${(2 y)}^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1^{3} = 0$

Passaggio 3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 2 y$ e $b = 1$ .

$(2 y - 1) ({(2 y)}^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$(2 y - 1) (2^{2} y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Passaggio 5

Imposta $2 y - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $2 y - 1$ uguale a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $2 y - 1 = 0$ per $y$ .

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Passaggio 5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 1$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Imposta $4 y^{2} + 2 y + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $4 y^{2} + 2 y + 1$ uguale a $0$ .

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = 2$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

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Passaggio 6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$ vera.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$