Matematica discreta Esempi

$\frac{1}{x^{4}} = {(\frac{1}{x})}^{y - 1}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come ${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$ .

${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Espandi $\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1})$ spostando $y - 1$ fuori dal logaritmo.

$(y - 1) \ln (\frac{1}{x}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (\frac{1}{x})$ come $\ln (1) - \ln (x)$ .

$(y - 1) (\ln (1) - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$(y - 1) (0 - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 3.4

Sottrai $\ln (x)$ da $0$ .

$(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 4

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.1

Semplifica $(y - 1) (- \ln (x))$ .

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (- \ln (x)) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- y \ln (x) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 1 (- \ln (x))$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- y \ln (x) + 1 \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- y \ln (x) + \ln (x) - \ln (\frac{1}{x^{4}}) = 0$

Passaggio 6

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- y \ln (x) + \ln (\frac{x}{\frac{1}{x^{4}}}) = 0$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Passaggio 7.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0$

Passaggio 7.2.2

Somma $1$ e $4$ .

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

Passaggio 8

Sottrai $\ln (x^{5})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$

Passaggio 9

Dividi per $- \ln (x)$ ciascun termine in $- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ e semplifica.

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Passaggio 9.1

Dividi per $- \ln (x)$ ciascun termine in $- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ .

$\frac{- y \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Passaggio 9.2.2

Elimina il fattore comune di $\ln (x)$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Passaggio 9.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$