Matematica discreta Esempi

$x^{2} - 2 x - 14 + y^{2} - 2 y = 0$

Passaggio 1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = x^{2} - 2 x - 14$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 14))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} - 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.4

Semplifica.

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Passaggio 3.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 8 x - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.4.2

Moltiplica $- 4$ per $- 14$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 8 x + 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.5

Somma $4$ e $56$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6

Riscrivi $- 4 x^{2} + 8 x + 60$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 3.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2} + 8 x + 60$ .

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Passaggio 3.1.6.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.1.2

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (2 x) + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.1.3

Scomponi $4$ da $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.1.4

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2}) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.1.5

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2} + 2 x) + 4 (15)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1.6.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e la cui somma è $b = 2$ .

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Passaggio 3.1.6.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 (x) + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.2.1.2

Riscrivi $2$ come $- 3$ più $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.1.6.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x - 3) - 5 (- x - 3))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x - 3) (x - 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x - 3) (x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.7

Riscrivi $4 (- x - 3) (x - 5)$ come $2^{2} ((- x - 3) (x - 5))$ .

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Passaggio 3.1.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 3) (x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.7.2

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 3) (x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}}{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}$

Passaggio 4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 1 + \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}$

$y = 1 - \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}$