Matematica discreta Esempi

$\sqrt{4 y + 20} - v y - 4 = 6$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini non contenenti $\sqrt{4 y + 20}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $v y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{4 y + 20} - 4 = 6 + v y$

Passaggio 1.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{4 y + 20} = 6 + v y + 4$

Passaggio 1.3

Somma $6$ e $4$ .

$\sqrt{4 y + 20} = v y + 10$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{4 y + 20}}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 y + 20}$ come ${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(4 y + 20)}^{1} = {(v y + 10)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$4 y + 20 = {(v y + 10)}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(v y + 10)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${(v y + 10)}^{2}$ come $(v y + 10) (v y + 10)$ .

$4 y + 20 = (v y + 10) (v y + 10)$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(v y + 10) (v y + 10)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 20 = v y (v y + 10) + 10 (v y + 10)$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y + 10)$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1.1

Sposta $v$ .

$4 y + 20 = v \cdot v y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Passaggio 3.3.1.3.1.1.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$4 y + 20 = v^{2} y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$4 y + 20 = v^{2} (y \cdot y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Passaggio 3.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Sposta $10$ alla sinistra di $v y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 \cdot (v y) + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Passaggio 3.3.1.3.1.4

Moltiplica $10$ per $10$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 v y + 10 v y + 100$

Passaggio 3.3.1.3.2

Somma $10 v y$ e $10 v y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 20 v y + 100$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 = 4 y + 20$

Passaggio 4.2

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y = 20$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $20$ da entrambi i lati dell'equazione.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y - 20 = 0$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $20$ da $100$ .

$v^{2} y^{2} + 20 v y - 4 y + 80 = 0$

Passaggio 4.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.5

Sostituisci i valori $a = v^{2}$ , $b = 20 v - 4$ e $c = 80$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- (20 v - 4) \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- (20 v) + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.5

Sia $u = v^{2} \cdot 80$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $v^{2} \cdot 80$ con $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.5.1

Riscrivi ${(20 v - 4)}^{2}$ come $(20 v - 4) (20 v - 4)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{(20 v - 4) (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.5.2

Espandi $(20 v - 4) (20 v - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v - 4) - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v \cdot v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.5.3.1.2

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.5.3.1.2.1

Sposta $v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (v \cdot v)) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.5.3.1.2.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v^{2}) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.5.3.1.3

Moltiplica $20$ per $20$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.5.3.1.4

Moltiplica $- 4$ per $20$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.5.3.1.5

Moltiplica $20$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.5.3.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.5.3.2

Sottrai $80 v$ da $- 80 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.6

Scomponi $4$ da $400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.6.1

Scomponi $4$ da $400 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.6.2

Scomponi $4$ da $- 160 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.6.3

Scomponi $4$ da $16$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) - 4 u}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.6.4

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.6.5

Scomponi $4$ da $4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.6.6

Scomponi $4$ da $4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.6.7

Scomponi $4$ da $4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - u)}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v^{2} \cdot 80$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (v^{2} \cdot 80))}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.8.1.1

Sposta $80$ alla sinistra di $v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (80 \cdot v^{2}))}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.8.1.2

Moltiplica $80$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - 80 v^{2})}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.8.2

Sottrai $80 v^{2}$ da $100 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (20 v^{2} - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.9

Scomponi $4$ da $20 v^{2} - 40 v + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.9.1

Scomponi $4$ da $20 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.9.2

Scomponi $4$ da $- 40 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4)}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.9.3

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.9.4

Scomponi $4$ da $4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.9.5

Scomponi $4$ da $4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.10

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{16 (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.11

Riscrivi $16 (5 v^{2} - 10 v + 1)$ come ${(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.11.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.11.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.12

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 2^{2} \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.6.13

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 4 \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

Passaggio 4.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$