Matematica discreta Esempi

$\sqrt{2 y} + 6 + 7 = y + 6$

Passaggio 1

Risolvi per $\sqrt{2 y}$ .

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Passaggio 1.1

Somma $6$ e $7$ .

$\sqrt{2 y} + 13 = y + 6$

Passaggio 1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\sqrt{2 y}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $13$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{2 y} = y + 6 - 13$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $13$ da $6$ .

$\sqrt{2 y} = y - 7$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 y}}^{2} = {(y - 7)}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 y}$ come ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - 7)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 7)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 7)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 y)}^{1} = {(y - 7)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$2 y = {(y - 7)}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(y - 7)}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${(y - 7)}^{2}$ come $(y - 7) (y - 7)$ .

$2 y = (y - 7) (y - 7)$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(y - 7) (y - 7)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y = y (y - 7) - 7 (y - 7)$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 y = y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 (y - 7)$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 y = y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 y = y^{2} + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Sposta $- 7$ alla sinistra di $y$ .

$2 y = y^{2} - 7 \cdot y - 7 y - 7 \cdot - 7$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 7$ per $- 7$ .

$2 y = y^{2} - 7 y - 7 y + 49$

Passaggio 3.3.1.3.2

Sottrai $7 y$ da $- 7 y$ .

$2 y = y^{2} - 14 y + 49$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$y^{2} - 14 y + 49 = 2 y$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 14 y + 49 - 2 y = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $2 y$ da $- 14 y$ .

$y^{2} - 16 y + 49 = 0$

Passaggio 4.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 16$ e $c = 49$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

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Passaggio 4.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $49$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 196}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.3

Sottrai $196$ da $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.4

Riscrivi $60$ come $2^{2} \cdot 15$ .

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Passaggio 4.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica $\frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{15}$

Passaggio 4.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 8 + \sqrt{15}, 8 - \sqrt{15}$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{2 y} + 6 + 7 = y + 6$ vera.

$y = 8 + \sqrt{15}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = 8 + \sqrt{15}$

Forma decimale:

$y = 11.87298334 \dots$