Matematica discreta Esempi

$\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y + 2, y - 4, y + 6$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $y + 2$ è $y + 2$ stesso.

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $y - 4$ è $y - 4$ stesso.

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il fattore di $y + 6$ è $y + 6$ stesso.

$(y + 6) = y + 6$

$(y + 6)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.8

Il minimo comune multiplo di $y + 2, y - 4, y + 6$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(y + 2) (y - 4) (y + 6)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ ciascun termine in $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ per $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Scomponi $y + 2$ da $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 ((y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.2

Espandi $(y - 4) (y + 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (y (y + 6) - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$4 (y^{2} + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.3.1.2

Sposta $6$ alla sinistra di $y$ .

$4 (y^{2} + 6 \cdot y - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$4 (y^{2} + 6 y - 4 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.3.2

Sottrai $4 y$ da $6 y$ .

$4 (y^{2} + 2 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$4 y^{2} + 4 (2 y) + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 y^{2} + 8 y + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.5.2

Moltiplica $4$ per $- 24$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $y - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{y - 4}$ nel numeratore.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.6.2

Scomponi $y - 4$ da $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 ((y + 2) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.7

Espandi $(y + 2) (y + 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y (y + 6) + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.8.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.8.1.2

Sposta $6$ alla sinistra di $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.8.1.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 y + 2 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.8.2

Somma $6 y$ e $2 y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 8 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 2 (8 y) - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.10.1

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.1.10.2

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $2 y^{2}$ da $4 y^{2}$ .

$2 y^{2} + 8 y - 96 - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $16 y$ da $8 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 96 - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.2.2.3

Sottrai $24$ da $- 96$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $y + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $y + 6$ da $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 ((y + 2) (y - 4))$

Passaggio 2.3.2

Espandi $(y + 2) (y - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y (y - 4) + 2 (y - 4))$

Passaggio 2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 (y - 4))$

Passaggio 2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Passaggio 2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Passaggio 2.3.3.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Passaggio 2.3.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 y + 2 y - 8)$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $- 4 y$ e $2 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 2 y - 8)$

Passaggio 2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} + 6 (- 2 y) + 6 \cdot - 8$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y + 6 \cdot - 8$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $6$ per $- 8$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y - 48$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sottrai $6 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} = - 12 y - 48$

Passaggio 3.1.2

Somma $12 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} + 12 y = - 48$

Passaggio 3.1.3

Sottrai $6 y^{2}$ da $2 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} - 8 y - 120 + 12 y = - 48$

Passaggio 3.1.4

Somma $- 8 y$ e $12 y$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 = - 48$

Passaggio 3.2

Somma $48$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 + 48 = 0$

Passaggio 3.3

Somma $- 120$ e $48$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $- 4$ da $- 4 y^{2} + 4 y - 72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $- 4$ da $4 y$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 72 = 0$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $- 4$ da $- 72$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 4 \cdot 18 = 0$

Passaggio 3.4.4

Scomponi $- 4$ da $- 4 (y^{2}) - 4 (- y)$ .

$- 4 (y^{2} - y) - 4 \cdot 18 = 0$

Passaggio 3.4.5

Scomponi $- 4$ da $- 4 (y^{2} - y) - 4 (18)$ .

$- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$

Passaggio 3.5

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ .

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y^{2} - y + 18$ per $1$ .

$y^{2} - y + 18 = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi $0$ per $- 4$ .

$y^{2} - y + 18 = 0$

Passaggio 3.6

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.7

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 18$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $18$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.3

Sottrai $72$ da $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.4

Riscrivi $- 71$ come $- 1 (71)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (71)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2}$

Passaggio 3.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{1 + i \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{2}$