Matematica discreta Esempi

$2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$

Passaggio 1

Trova un fattore comune $y^{\frac{2}{5}}$ che è presente in ciascun termine.

$2 {(y^{\frac{2}{5}})}^{6} - 17 {(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{7}{2}} + 35 y^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 2

Sostituisci $y^{\frac{2}{5}}$ per $u$ .

$2 {(u)}^{6} - 17 {(u)}^{\frac{7}{2}} + 35 (u) = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $u$ da $2 u^{6} - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $u$ da $2 u^{6}$ .

$u (2 u^{5}) - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u = 0$

Passaggio 3.1.1.2

Scomponi $u$ da $- 17 u^{\frac{7}{2}}$ .

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + 35 u = 0$

Passaggio 3.1.1.3

Scomponi $u$ da $35 u$ .

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

Passaggio 3.1.1.4

Scomponi $u$ da $u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}})$ .

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

Passaggio 3.1.1.5

Scomponi $u$ da $u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35$ .

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $u^{5}$ come ${(u^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

$u (2 {(u^{\frac{5}{2}})}^{2} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

Passaggio 3.1.3

Sia $u = u^{\frac{5}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $u^{\frac{5}{2}}$ con $u$ .

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

Passaggio 3.1.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 35 = 70$ e la cui somma è $b = - 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1.1

Scomponi $- 17$ da $- 17 u$ .

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

Passaggio 3.1.4.1.2

Riscrivi $- 17$ come $- 7$ più $- 10$ .

$u (2 u^{2} + (- 7 - 10) u + 35) = 0$

Passaggio 3.1.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$u (2 u^{2} - 7 u - 10 u + 35) = 0$

Passaggio 3.1.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$u ((2 u^{2} - 7 u) - 10 u + 35) = 0$

Passaggio 3.1.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (u (2 u - 7) - 5 (2 u - 7)) = 0$

Passaggio 3.1.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 7$ .

$u ((2 u - 7) (u - 5)) = 0$

Passaggio 3.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $u^{\frac{5}{2}}$ .

$u ((2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5)) = 0$

Passaggio 3.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u = 0$

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $u$ uguale a $0$ .

$u = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ uguale a $0$ .

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u^{\frac{5}{2}} = 7$

Passaggio 3.4.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{2}{5}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 u^{\frac{5}{2}}$ .

$2^{\frac{2}{5}} {(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{\frac{2}{5}} u^{1} = 7^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3.1.3

Semplifica.

$2^{\frac{2}{5}} u = 7^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.4.2.3.1.4

Riordina i fattori in $2^{\frac{2}{5}} u$ .

$u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.4.2.4

Dividi per $2^{\frac{2}{5}}$ ciascun termine in $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.1

Dividi per $2^{\frac{2}{5}}$ ciascun termine in $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 3.4.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 3.4.2.4.2.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 3.5

Imposta $u^{\frac{5}{2}} - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $u^{\frac{5}{2}} - 5$ uguale a $0$ .

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{\frac{5}{2}} = 5$

Passaggio 3.5.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{2}{5}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Semplifica ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{1} = 5^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Semplifica.

$u = 5^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$ vera.

$u = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 4

Sostituisci $u$ per $y$ .

$y^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 5

Risolvi per $y^{\frac{2}{5}} = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{5}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.2.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.2.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica.

$y = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$y = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm 0^{5}$

Passaggio 5.2.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = \pm 0$

Passaggio 5.2.2.1.4

Più o meno $0$ è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $y^{\frac{2}{5}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{5}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 6.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 6.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 6.2.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 6.2.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Semplifica.

$y = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $\pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ .

$y = \pm \frac{{(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{7^{1}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{7}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Passaggio 6.2.2.1.3.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Passaggio 6.2.2.1.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{7}{2^{1}}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{7}{2}$

Passaggio 6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{7}{2}$

Passaggio 6.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{7}{2}$

Passaggio 6.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}$

Passaggio 7

Poiché gli esponenti sono uguali, le basi degli esponenti su entrambi i lati dell'equazione devono essere uguali.

$y = 5$

Passaggio 8

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 0, \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}, 5$

Passaggio 9

Escludi le soluzioni che non rendono $2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$ vera.

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

Forma decimale:

$y = 0, 3.5, 5$

Forma numero misto:

$y = 0, 3 \frac{1}{2}, 5$