Matematica discreta Esempi

$(\frac{3}{4} r - \frac{2}{3} s) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Passaggio 1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$\frac{3}{4}$ e $r$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2}{3} s) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Passaggio 1.1.2

$s$ e $\frac{2}{3}$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{s \cdot 2}{3}) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Passaggio 1.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $s$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Passaggio 1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$\frac{5}{4}$ e $r$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{1}{3} s)$

Passaggio 1.2.2

$\frac{1}{3}$ e $s$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

Passaggio 2

Espandi $(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 r}{4} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3}) - \frac{2 s}{3} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Moltiplica $\frac{3 r}{4}$ per $\frac{5 r}{4}$ .

$\frac{3 r (5 r)}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.1.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{15 r \cdot r}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.1.3

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$\frac{15 (r^{1} r)}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.1.4

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$\frac{15 (r^{1} r^{1})}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{15 r^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.1.7

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 r$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 (r)}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r}{4} s - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.3

$\frac{r}{4}$ e $s$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 s}{3}$ nel numeratore.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.4.2

Scomponi $2$ da $- 2 s$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.4.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{2 (2)} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{2 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- s}{3} \cdot \frac{5 r}{2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $\frac{- s}{3}$ per $\frac{5 r}{2}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- s (5 r)}{3 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 5 s r}{3 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.7

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 5 s r}{6} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Passaggio 3.1.9

Moltiplica $- \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.9.1

Moltiplica $\frac{s}{3}$ per $\frac{2 s}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{s (2 s)}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.1.9.2

Eleva $s$ alla potenza di $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 (s^{1} s)}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.1.9.3

Eleva $s$ alla potenza di $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 (s^{1} s^{1})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.1.9.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.1.9.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{2}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.1.9.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.2

Sottrai $\frac{5 s r}{6}$ da $\frac{r s}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta $s$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 r s}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.2.2

Per scrivere $\frac{r s}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 r s}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.2.3

Per scrivere $- \frac{5 r s}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $\frac{r s}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.2.4.3

Moltiplica $\frac{5 r s}{6}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.2.4.4

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $\frac{15 r^{2}}{16}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} \cdot \frac{3}{3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.4

Per scrivere $\frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} \cdot \frac{3}{3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $48$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $\frac{15 r^{2}}{16}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{16 \cdot 3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $16$ per $3$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $\frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{(r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{12 \cdot 4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $12$ per $4$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{(r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{15 r^{2} \cdot 3 + (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.7

Riordina i termini.

$\frac{3 \cdot 15 r^{2} + 4 (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2)}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.8

Combina $\frac{3 \cdot 15 r^{2} + 4 (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2)}{48}$ e $- \frac{2 s^{2}}{9}$ usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Riordina $3 \cdot 15 r^{2}$ e $4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s)$ .

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.8.2

Per scrivere $\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Passaggio 3.8.3

Per scrivere $- \frac{2 s^{2}}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Passaggio 3.8.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $144$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Moltiplica $\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{48 \cdot 3} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Passaggio 3.8.4.2

Moltiplica $48$ per $3$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Passaggio 3.8.4.3

Moltiplica $\frac{2 s^{2}}{9}$ per $\frac{16}{16}$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2} \cdot 16}{9 \cdot 16}$

Passaggio 3.8.4.4

Moltiplica $9$ per $16$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Passaggio 3.8.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$\frac{(4 (3 r s - 10 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $10 r s$ da $3 r s$ .

$\frac{(4 (- 7 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 7$ per $4$ .

$\frac{(- 28 (r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $3$ per $15$ .

$\frac{(- 28 r s + 45 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 28 r s \cdot 3 + 45 r^{2} \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $3$ per $- 28$ .

$\frac{- 84 r s + 45 r^{2} \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $3$ per $45$ .

$\frac{- 84 r s + 135 r^{2} - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $16$ per $- 2$ .

$\frac{- 84 r s + 135 r^{2} - 32 s^{2}}{144}$

Passaggio 4.6

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 135 \cdot - 32 = - 4320$ e la cui somma è $b = - 84$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Riordina i termini.

$\frac{135 r^{2} - 32 s^{2} - 84 r s}{144}$

Passaggio 4.6.1.2

Riordina $- 32 s^{2}$ e $- 84 r s$ .

$\frac{135 r^{2} - 84 r s - 32 s^{2}}{144}$

Passaggio 4.6.1.3

Scomponi $- 84$ da $- 84 r s$ .

$\frac{135 r^{2} - 84 (r s) - 32 s^{2}}{144}$

Passaggio 4.6.1.4

Riscrivi $- 84$ come $36$ più $- 120$ .

$\frac{135 r^{2} + (36 - 120) (r s) - 32 s^{2}}{144}$

Passaggio 4.6.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{135 r^{2} + 36 (r s) - 120 (r s) - 32 s^{2}}{144}$

Passaggio 4.6.1.6

Sposta le parentesi.

$\frac{135 r^{2} + 36 r s - 120 r s - 32 s^{2}}{144}$

Passaggio 4.6.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(135 r^{2} + 36 r s) - 120 r s - 32 s^{2}}{144}$

Passaggio 4.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{9 r (15 r + 4 s) - 8 s (15 r + 4 s)}{144}$

Passaggio 4.6.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $15 r + 4 s$ .

$\frac{(15 r + 4 s) (9 r - 8 s)}{144}$