Matematica discreta Esempi

$(\frac{n^{2} + 3 n - 18}{n^{2} - 36}) \cdot (\frac{1 - 4 n^{2}}{2 n^{2} - 5 n - 3})$

Passaggio 1

Scomponi $n^{2} + 3 n - 18$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 18$ e la cui somma è $3$ .

$- 3, 6$

Passaggio 1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{n^{2} - 36} \cdot \frac{1 - 4 n^{2}}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{n^{2} - 6^{2}} \cdot \frac{1 - 4 n^{2}}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = n$ e $b = 6$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{1 - 4 n^{2}}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{1^{2} - 4 n^{2}}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $4 n^{2}$ come ${(2 n)}^{2}$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{1^{2} - {(2 n)}^{2}}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Passaggio 3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = 2 n$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - (2 n))}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Passaggio 4

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è $b = - 5$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 n$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n^{2} - 5 (n) - 3}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi $- 5$ come $1$ più $- 6$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n^{2} + (1 - 6) n - 3}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n^{2} + 1 n - 6 n - 3}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $n$ per $1$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n^{2} + n - 6 n - 3}$

Passaggio 4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{(2 n^{2} + n) - 6 n - 3}$

Passaggio 4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{n (2 n + 1) - 3 (2 n + 1)}$

Passaggio 4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 n + 1$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{(2 n + 1) (n - 3)}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $n - 3$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $n - 3$ da $(2 n + 1) (n - 3)$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{(n - 3) (2 n + 1)}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{(n - 3) (2 n + 1)}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{n + 6}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n + 1}$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{n + 6}{(n + 6) (n - 6)}$ per $\frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n + 1}$ .

$\frac{(n + 6) ((1 + 2 n) (1 - 2 n))}{(n + 6) (n - 6) (2 n + 1)}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $n + 6$ .

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Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(n + 6) ((1 + 2 n) (1 - 2 n))}{(n + 6) (n - 6) (2 n + 1)}$

Passaggio 7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{(n - 6) (2 n + 1)}$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $1 + 2 n$ e $2 n + 1$ .

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Passaggio 8.1

Riordina i termini.

$\frac{(2 n + 1) (1 - 2 n)}{(n - 6) (2 n + 1)}$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 n + 1) (1 - 2 n)}{(n - 6) (2 n + 1)}$

Passaggio 8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 2 n}{n - 6}$