Matematica discreta Esempi

$\frac{e^{4 t} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $e^{4 t}$ come ${(e^{2 t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $e^{2 t}$ come ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.1.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 e^{3 t} = 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi il polinomio.

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.1.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = e^{2 t}$ e $b = e^{t}$ .

$\frac{{(e^{2 t} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $e^{2 t}$ come ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{({(e^{t})}^{2} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.3

Sia $u = e^{t}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{t}$ con $u$ .

$\frac{{(u^{2} + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.4

Scomponi $u$ da $u^{2} + u$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $u$ da $u^{2}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.4.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.4.3

Scomponi $u$ da $u^{1}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.4.4

Scomponi $u$ da $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{{(u (u + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{t}$ .

$\frac{{(e^{t} (e^{t} + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.6

Applica la regola del prodotto a $e^{t} (e^{t} + 1)$ .

$\frac{{(e^{t})}^{2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.7

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{t})}^{2}$ .

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Passaggio 1.7.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t \cdot 2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 1.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Passaggio 2.1.2

Dividi ${(e^{t} + 1)}^{2}$ per $1$ .

${(e^{t} + 1)}^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${(e^{t} + 1)}^{2}$ come $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$

Passaggio 3

Espandi $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1)$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1)$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $e^{t}$ per $e^{t}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.1.2

Somma $t$ e $t$ .

$e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $e^{t}$ per $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $e^{t}$ per $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1$

Passaggio 4.2

Somma $e^{t}$ e $e^{t}$ .

$e^{2 t} + 2 e^{t} + 1$