Matematica discreta Esempi

$\frac{3 x^{3} - 81}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{3} - 81$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3}) - 81}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $3$ da $- 81$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 27}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $3$ da $3 x^{3} + 3 \cdot - 27$ .

$\frac{3 (x^{3} - 27)}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3} - 3^{3})}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2}))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 1.4.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 8 x - 60$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2}) + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2}) + 4 (2 x) - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $4$ da $- 60$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot - 15} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 (2 x)$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2} + 2 x) + 4 \cdot - 15} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} + 2 x) + 4 \cdot - 15$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2} + 2 x - 15)} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2} + 2 x - 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $2$ .

$- 3, 5$

Passaggio 2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 ((x - 3) (x + 5))} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Scomponi $8$ da $8 x + 16$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x) + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $8$ da $16$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 x + 8 \cdot 2}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $8$ da $8 x + 8 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Passaggio 3.2

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 18 x + 54$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2}) + 18 x + 54}$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $6$ da $18 x$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2}) + 6 (3 x) + 54}$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $6$ da $54$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot 9}$

Passaggio 3.2.4

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 (3 x)$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 9}$

Passaggio 3.2.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 9$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2} + 3 x + 9)}$

Passaggio 3.3

Combina.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $3$ da $3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))$ .

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Passaggio 3.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $3$ da $4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))$ .

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{3 (4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9)))}$

Passaggio 3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{3 (4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9)))}$

Passaggio 3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

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Passaggio 3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{(4 (x + 5)) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 3 x + 9$ .

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Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 (x + 2)}{(4 (x + 5)) \cdot (2)}$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

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Passaggio 3.7.1

Scomponi $4$ da $8 (x + 2)$ .

$\frac{4 (2 (x + 2))}{(4 (x + 5)) \cdot (2)}$

Passaggio 3.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.7.2.1

Scomponi $4$ da $(4 (x + 5)) \cdot (2)$ .

$\frac{4 (2 (x + 2))}{4 ((x + 5) \cdot (2))}$

Passaggio 3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (2 (x + 2))}{4 ((x + 5) \cdot (2))}$

Passaggio 3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (x + 2)}{(x + 5) \cdot (2)}$

Passaggio 3.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x + 2)}{(x + 5) \cdot 2}$

Passaggio 3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + 2}{x + 5}$