Matematica discreta Esempi

$\frac{5}{t} < \frac{9}{2 t + 1}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{9}{2 t + 1}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{5}{t} - \frac{9}{2 t + 1} < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{5}{t} - \frac{9}{2 t + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{5}{t}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 t + 1}{2 t + 1}$ .

$\frac{5}{t} \cdot \frac{2 t + 1}{2 t + 1} - \frac{9}{2 t + 1} < 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{9}{2 t + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t}{t}$ .

$\frac{5}{t} \cdot \frac{2 t + 1}{2 t + 1} - \frac{9}{2 t + 1} \cdot \frac{t}{t} < 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $t (2 t + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{5}{t}$ per $\frac{2 t + 1}{2 t + 1}$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9}{2 t + 1} \cdot \frac{t}{t} < 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{9}{2 t + 1}$ per $\frac{t}{t}$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9 t}{(2 t + 1) t} < 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(2 t + 1) t$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 (2 t + 1) - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (2 t) + 5 \cdot 1 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{10 t + 5 \cdot 1 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{10 t + 5 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Passaggio 2.5.4

Sottrai $9 t$ da $10 t$ .

$\frac{t + 5}{t (2 t + 1)} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$t = 0$

$t + 5 = 0$

$2 t + 1 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = - 5$

Passaggio 5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 t = - 1$

Passaggio 6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 t = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 t = - 1$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$t = 0$

$t = - 5$

$t = - \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$t = 0, - 5, - \frac{1}{2}$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{t + 5}{t (2 t + 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{t + 5}{t (2 t + 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$t (2 t + 1) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$t = 0$

$2 t + 1 = 0$

Passaggio 9.2.2

Imposta $t$ uguale a $0$ .

$t = 0$

Passaggio 9.2.3

Imposta $2 t + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Imposta $2 t + 1$ uguale a $0$ .

$2 t + 1 = 0$

Passaggio 9.2.3.2

Risolvi $2 t + 1 = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 t = - 1$

Passaggio 9.2.3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 t = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 t = - 1$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 9.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 9.2.3.2.2.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 9.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{1}{2}$

Passaggio 9.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $t (2 t + 1) = 0$ vera.

$t = 0, - \frac{1}{2}$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $t$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$t < - 5$

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < t < 0$

$t > 0$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $t < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $t < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$t = - 8$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $t$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{5}{- 8} < \frac{9}{2 (- 8) + 1}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 0.625$ è minore del lato destro di $- 0.6$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < t < - \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < t < - \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$t = - 3$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $t$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{5}{- 3} < \frac{9}{2 (- 3) + 1}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 1.\overline{6}$ non è minore del lato destro di $- 1.8$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < t < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < t < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$t = - 0.25$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $t$ con $- 0.25$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{5}{- 0.25} < \frac{9}{2 (- 0.25) + 1}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $- 20$ è minore del lato destro di $18$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $t > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $t > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$t = 2$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $t$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{5}{2} < \frac{9}{2 (2) + 1}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $2.5$ non è minore del lato destro di $1.8$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$t < - 5$ Vero

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < t < 0$ Vero

$t > 0$ Falso

$t < - 5$ Vero

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < t < 0$ Vero

$t > 0$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$t < - 5$ o $- \frac{1}{2} < t < 0$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$t < - 5 or - \frac{1}{2} < t < 0$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 5) \cup (- \frac{1}{2}, 0)$

Passaggio 14