Matematica discreta Esempi

x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

Passaggio 1

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

{\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{10 - x^{2}}

$\sqrt{10 - x^{2}}$ come

{(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica

${(x + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi

${(x + 2)}^{2}$ come

$(x + 2) (x + 2)$ .

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi

$(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Sposta

$2$ alla sinistra di

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Passaggio 3.3.1.3.2

Somma

$2 x$ e

$2 x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

Passaggio 4

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi in modo che

$x$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti

$x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Aggiungi

$x^{2}$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

Passaggio 4.2.2

Somma

$x^{2}$ e

$x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

Passaggio 4.3

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

Passaggio 4.4

Sottrai

$10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

Passaggio 4.5

Sottrai

$10$ da

$4$ .

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Passaggio 4.6

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Scomponi

$2$ da

$2 x^{2} + 4 x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Scomponi

$2$ da

$2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

Passaggio 4.6.1.2

Scomponi

$2$ da

$4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

Passaggio 4.6.1.3

Scomponi

$2$ da

$- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.6.1.4

Scomponi

$2$ da

$2 x^{2} + 2 (2 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.6.1.5

Scomponi

$2$ da

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Passaggio 4.6.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Scomponi

$x^{2} + 2 x - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1.1

Considera la forma

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

$c$ e la cui formula è

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

$- 3$ e la cui somma è

$2$ .

$- 1, 3$

Passaggio 4.6.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Passaggio 4.6.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

Passaggio 4.7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.8

Imposta

$x - 1$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Imposta

$x - 1$ uguale a

$0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.8.2

Somma

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4.9

Imposta

$x + 3$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Imposta

$x + 3$ uguale a

$0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.9.2

Sottrai

$3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 4.10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 1, - 3$

Passaggio 5

Trova il dominio di

$x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il radicando in

$\sqrt{10 - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$10 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai

$10$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 10$

Passaggio 5.2.2

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- x^{2} \geq - 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- x^{2} \geq - 10$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi

$x^{2}$ per

$1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Dividi

$- 10$ per

$- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Passaggio 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.5

Scrivi

$| x | \leq \sqrt{10}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 5.2.5.2

Nella parte in cui

$x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 5.2.5.4

Nella parte in cui

$x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per

$- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 5.2.6

Trova l'intersezione di

$x \leq \sqrt{10}$ e

$x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.7

Risolvi

$- x \leq \sqrt{10}$ dove

$x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- x \leq \sqrt{10}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1.1

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- x \leq \sqrt{10}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Passaggio 5.2.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Passaggio 5.2.7.1.2.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Passaggio 5.2.7.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di

$\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.7.1.3.2

Riscrivi

$- 1 \cdot \sqrt{10}$ come

$- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.7.2

Trova l'intersezione di

$x \geq - \sqrt{10}$ e

$x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Passaggio 5.2.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Passaggio 5.3

Il dominio è formato da tutti i valori di

$x$ che rendono definita l'espressione.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Passaggio 6

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Passaggio 7

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Testa un valore sull'intervallo

$x < - \sqrt{10}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scegli un valore sull'intervallo

$x < - \sqrt{10}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 7.1.2

Sostituisci

$x$ con

$- 6$ nella diseguaglianza originale.

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

Passaggio 7.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 7.2

Testa un valore sull'intervallo

$- \sqrt{10} < x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scegli un valore sull'intervallo

$- \sqrt{10} < x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3.08$

Passaggio 7.2.2

Sostituisci

$x$ con

$- 3.08$ nella diseguaglianza originale.

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Il lato sinistro di

$- 1.08$ non è maggiore del lato destro di

$0.71665891$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.3

Testa un valore sull'intervallo

$- 3 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Scegli un valore sull'intervallo

$- 3 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 7.3.2

Sostituisci

$x$ con

$0$ nella diseguaglianza originale.

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.3.3

Il lato sinistro di

$2$ non è maggiore del lato destro di

$3.16227766$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.4

Testa un valore sull'intervallo

$1 < x < \sqrt{10}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Scegli un valore sull'intervallo

$1 < x < \sqrt{10}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 7.4.2

Sostituisci

$x$ con

$2$ nella diseguaglianza originale.

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

Passaggio 7.4.3

Il lato sinistro di

$4$ è maggiore del lato destro di

$2.44948974$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.5

Testa un valore sull'intervallo

$x > \sqrt{10}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scegli un valore sull'intervallo

$x > \sqrt{10}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 7.5.2

Sostituisci

$x$ con

$6$ nella diseguaglianza originale.

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

Passaggio 7.5.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 7.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \sqrt{10}$ Falso

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < \sqrt{10}$ Vero

$x > \sqrt{10}$ Falso

$x < - \sqrt{10}$ Falso

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < \sqrt{10}$ Vero

$x > \sqrt{10}$ Falso

Passaggio 8

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$1 < x < \sqrt{10}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$1 < x < \sqrt{10}$

Notazione degli intervalli:

$(1, \sqrt{10})$

Passaggio 10