Matematica discreta Esempi

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

Passaggio 1

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10 - x^{2}}$ come ${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(x + 2)}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Passaggio 3.3.1.3.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi in modo che $x$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

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Passaggio 4.2.1

Aggiungi $x^{2}$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

Passaggio 4.2.2

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

Passaggio 4.3

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

Passaggio 4.4

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

Passaggio 4.5

Sottrai $10$ da $4$ .

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Passaggio 4.6

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.6.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 4 x - 6$ .

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Passaggio 4.6.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

Passaggio 4.6.1.2

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

Passaggio 4.6.1.3

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.6.1.4

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 (2 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.6.1.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Passaggio 4.6.2

Scomponi.

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Passaggio 4.6.2.1

Scomponi $x^{2} + 2 x - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.6.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $2$ .

$- 1, 3$

Passaggio 4.6.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Passaggio 4.6.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

Passaggio 4.7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.8

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.8.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.8.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4.9

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.9.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.9.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 4.10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x - 1) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 1, - 3$

Passaggio 5

Trova il dominio di $x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ .

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Passaggio 5.1

Imposta il radicando in $\sqrt{10 - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$10 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 10$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 10$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 10$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.3.1

Dividi $- 10$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Passaggio 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.4.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.5

Scrivi $| x | \leq \sqrt{10}$ a tratti.

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Passaggio 5.2.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 5.2.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 5.2.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 5.2.6

Trova l'intersezione di $x \leq \sqrt{10}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.7

Risolvi $- x \leq \sqrt{10}$ dove $x < 0$ .

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Passaggio 5.2.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq \sqrt{10}$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.7.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq \sqrt{10}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Passaggio 5.2.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Passaggio 5.2.7.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Passaggio 5.2.7.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.7.1.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.7.1.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \sqrt{10}$ come $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Passaggio 5.2.7.2

Trova l'intersezione di $x \geq - \sqrt{10}$ e $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Passaggio 5.2.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Passaggio 5.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Passaggio 6

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Passaggio 7

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 7.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \sqrt{10}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \sqrt{10}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 7.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

Passaggio 7.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 7.2

Testa un valore sull'intervallo $- \sqrt{10} < x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \sqrt{10} < x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3.08$

Passaggio 7.2.2

Sostituisci $x$ con $- 3.08$ nella diseguaglianza originale.

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Il lato sinistro di $- 1.08$ non è maggiore del lato destro di $0.71665891$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.3

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 7.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.3.3

Il lato sinistro di $2$ non è maggiore del lato destro di $3.16227766$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.4

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < \sqrt{10}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < \sqrt{10}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 7.4.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

Passaggio 7.4.3

Il lato sinistro di $4$ è maggiore del lato destro di $2.44948974$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.5

Testa un valore sull'intervallo $x > \sqrt{10}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \sqrt{10}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 7.5.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

Passaggio 7.5.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 7.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \sqrt{10}$ Falso

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < \sqrt{10}$ Vero

$x > \sqrt{10}$ Falso

$x < - \sqrt{10}$ Falso

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < \sqrt{10}$ Vero

$x > \sqrt{10}$ Falso

Passaggio 8

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$1 < x < \sqrt{10}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$1 < x < \sqrt{10}$

Notazione degli intervalli:

$(1, \sqrt{10})$

Passaggio 10